Через вершину k треугольника mkp проведена прямая kn, перпендикулярная к плоскости треугольника. известно mk=kp=10см, mp=12см. найдите расстояние от точки n до прямой mp.

Есть треугольник MKP
проведём высоту из вершины К на МР, получим точку Н
она будет лежать на середине МР, т.к. треугольник равнобедренный
по теореме пифагора получаем:
МН^2 + НК^2 = МК^2
36 + НК^2 = 100
НК^2 = 100 - 36
НК^2 = 64
НК = 8
теперь получили прямоугольный треугольник NKH, где NK = 15, KH = 8, по теореме пифагора получаем
NK^2 + KH^2 = NH^2
255 + 64 = NH^2
319 = NH^2
NH = sqrt(319)

1.
h=b*tg(φ)
S=b*b*sin(β)/2 - площадь основания
V=h*S=b^3*tg(φ)*sin(β)/2
2.
Все боковые ребра пирамиды образуют с ее высотой одинаковый угол и значит боковые ребра равны и значит проекции ребер равны, значит проекция вершины пирамиды лежит в центре описанной окружности около треугольника основания.
для равнобедренного треугольника с основанием а=12 см и углом при вершине 120° радиус описанной окружности R=a/корень(3),
(надо рисовать круг, в нем треугольник, вычислять ... я это сделал на черновике)
высота пирамиды
h = R*tg(30)=a/3=4 см
S=2*(a/2)*(a/2)*tg(30)/2 =   a^2*корень(3)/12 =  12*корень(3) см^2
V = S*h/3 =12*корень(3)*4/3=16*корень(3) см^3

Сделаем схематический рисунок осевого сечения данной фигуры. 

Получим равнобедренный треугольник с вписанным в него квадратом. 

Примем сторону квадрата (высоту и диаметр цилиндра) равной х. 

Тогда верхний диаметр цилиндра КМ=х будет основанием равнобедренного треугольника КВМ. Оно параллельно диаметру конуса. 

Диаметр конуса =2•4=8 

Высота  ∆ КВМ=10

Треугольники АВС и КВМ подобны по равным углам при основаниях и общему углу В. 

Из подобия следует отношение:

АС:КМ=ВН:ВЕ

8:х=10:(10-х)

18х=80

х=40/9

V=πr²•h

Радиус цилиндра r= x:2=20/9 

Высота цилиндра h=40/9 

V=(π•400•40):81•9= ≈ 65,36 (ед. объема)