Площадь прямоугольного треугольника равна 1058√3. один из острых углов равен 30∘. найдите длину

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению катетов. Т.к. один из углом 30 градусов, то катет, противолежащий ему, в два раза меньше гипотенузы (пусть этот катет х, тогда гипотенуза - 2х).
Кроме того, второй катет равен √3 / 2 * (2х) = х√3, т.к. он лежит против угла в 60 градусов, и его длина равна длине гипотенузы, умноженной на синус 60 градусов.
Т.е. х * х√3 = 1058√3, х² = 1058 = 2 * 23², х = 23√2.
Длина гипотенузы в 2 раза больше: 46√2, длина второго катета равна х√3 = 23√6.

1. Сумма одной пары внешних углов треугольника равна 194°, а сумма другой пары внешних углов - 321°. Найдите внутренние углы треугольника. 

Пусть данный треугольник АВС. 

Сумма внешних углов при вершине А=321°. Внешние углы при одной вершине вертикальные и равны,  тогда каждый из них равен 321°:2=160,5°

Сумма внешнего и внутреннего угла треугольника, смежного с ним, равна 180°. ∠ВАС=180°-160,5°=19,5°

Сумма внешних углов при вершине С=194°, а каждый из них равен 194:2=97°. Смежный с ним внутренний ВСА=83°

Угол АВС=180°-(19,5°+83°)=77,5°

Углы ∆ АВС равны 19,5°; 87°; 77,5°

---------------------

2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины при основании, образует с основанием угол, равный 34 градуса. Какой угол образует медиана, проведенная к основанию, с боковой стороной?

Пусть данный треугольник АВС. АМ - биссектриса угла А, ВН - медиана проведенная к АС. 

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, и 

∠ А=∠С=34°•2=68°.

∠ АВС=180°-2•68°=44°

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, еще и его высота и биссектриса. Она делит угол пополам. Угол, образованный медианой с боковой стороной, -∠ НВА=44°:2=22°

task/30528090    

Дано :  ABCDA₁B₁C₁D₁  прямой  параллелепипед AD = 5 см ,∠B₁EB =α =15° , S(A₁B₁C₁D) =10 см².        V =V(ABCDA₁B₁C₁D₁) - ?

Решение V = V(ABCDA₁B₁C₁D₁) = S(ABCD)*BB₁ ; Проведена B₁E ⊥ AD и точка E  соединена  с вершиной  B. AD ⊥ EB₁ ⇒ AD ⊥ EB (теорема трех перпендикуляров _EB проекция наклонной EB₁ на плоскость ABCD)

∠B₁EB =α =15° будет линейным углом  двугранного угла B₁ADC

V = S(AD*BE)*BB₁ =(AD*B₁E*cosα)*B₁E*sinα =(AD*B₁E²*sin2α)/2=(AD*B₁E²*sin30°)/2=AD*B₁E²/ 4 ,но S =AD*B₁E⇔ B₁E = S/AD

следовательно  V = S²/4*AD =(10 см²)²/ (4*5 см) = 5 см³.  

ответ :  5 см³ .   cм ПРИЛОЖЕНИЕ