Вравнобедренном прямоугольном треугольнике мор на гипотенузе мр отмечена точка к. известно, что угол окр в 4 раза больше, чем угол мок. найдите углы треугольника мок.

Применено свойство внешнего угла треугольника, сумма углов треугольника, свойство равнобедренного прямоугольного треугольника

<MOK=x,<OKP=4x
ΔMOP -равнобедренный⇒<OMP=<OPM=45
<OKP-внешний⇒<OKP=<OMP+<MOK
4x=x+45
4x-x=45
3x=45
x=45:3
x=15
<MOK=15
<MKO=180-(<OMK+<MОK)
<MKO=180-(45+15)=180-60=120

В                                                  Д

 

                      Е

                             О

 

 

С                                                  А

 

СЕ-биссектрисса, СО-медиана, угол САВ-15град. В тр-ке АСВ угол В=180-90-15=75град. В тр-ке ВСЕ угол ВЕС=180-45-75=60град. Смежный с ним угол СЕА=180-60=120град. 

Достроим треугольник  АСВ до прямоугольника. СД и АВ - диагонали, в точке пересечения делятся пополам. СО=ОА. В равнобедренном треугольнике  СОА угол А=углуС=15град, тогда угол СОА=180-15-15=150град. Смежный с ним угол СОЕ=30град.  

В тр-ке СЕО угол ЕСО=180-120-30=30град.

 

Рисунок схема без соблюдения градусов углов

Обозначим вершины тр-ке А,В,С, Пусть С- прямой угол. Биссектриса СМ, а высота СК.

Дано: уг. МСК = 15°. ВС = 5см.

Найти: АВ

Поскольку СМ - биссектриса, то уг. МСВ = уг. АСМ = 0,5 уг.С = 90:2 = 45°

Уг. КСВ = уг. МСВ - уг.МСК = 45° - 15° = 30°

Высота СМ, опущенная из прямого угла С, делит тр-к АВС на два тр-ка АСК и СВК, подобных тр-ку АВС.

Рассмотрим подобные тр-ки АВС и СВК.

У них общий угол В, поэтому уг. А(в тр-ке АВС) = уг. ВСК (в тр-ке СВК) = 30°

Катет ВС, лежащий против угла А, равного 30°, равен 0,5 гипотенузы АВ

Гипотенуза АВ тогда:

АВ = 2 ВС = 2·5 = 10(см)

ответ: гипотенуза АВ треугольника АВС равна 10см.