1)в треугольнике efk ef=ek. точки m и n- середины сторон ef и ek соответственно. доказать, что fn=km 2) отрезки ab и cd пересекаются в точке f. известно, что af=fb, угол abc=bad. доказать, что треугольники afd и bfc равны

розглядаємо трикутник мkf і fnk

1.fk - спільна сторона

2..mf = nk - серидина рівних сторін

3. < efk  = < ekf за теоремою про рівнобедренний трикутник

за першою ознакою рівностей трикутників, трикутники рівні значить fn=km

Дано: ∆ abc, ∠c=90º, окружность (o, r) — вписанная, k, m, f — точки касания со сторонами ac, ab, bc, bm=4 см, am=6 см. найти: \[{p_{\delta abc,}}{s_{\delta abc}},r.\] решение: 1) по свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки, окружность, вписанная к прямоугольный треугольникak=am=6 см, bf=bm=4 см, ck=cf=x см. 2) ab=am+bm=6+4=10 см, ac=ak+ck=(6+x) см, bc=bf+cf=(4+x) см. 3) по теореме пифагора: \[a{c^2} + b{c^2} = a{b^2}\] \[{(6 + x)^2} + {(4 + x)^2} = {10^2}\] \[36 + 12x + {x^2} + 16 + 8x + {x^2} = 100\] \[2{x^2} + 20x - 48 = 0\] \[{x^2} + 10x - 24 = 0\] по теореме виета, \[{x_1} = 2,{x_2} = - 12.\] второй корень не подходит по смыслу . значит, ck+cf=2 см, ac=8 см, bc=6 см. 4) \[{p_{\delta abc}} = ab + ac + bc,\] \[{p_{\delta abc}} = 10 + 8 + 6 = 24(cm),\] \[{s_{\delta abc}} = \frac{1}{2}ac \cdot bc,\] \[{s_{\delta abc}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24(c{m^2}),\] \[r = \frac{{ac + bc - ab}}{2},\] \[r = \frac{{8 + 6 - 10}}{2} = 2(cm).\] ответ: 24 см, 24 см², 2 с

Два равнобедренных треугольника имеют равные угла при основаниях. основание и боковая сторона первого треугольника относится как 6: 5. найдите стороны второго треугольника, если его периметр равен 48 см. решение : два равнобедренных треугольника имеют равные углы при основаниях, что означает, что эти треугольники подобны по 1 признаку подобия. ввиду того, что треугольники подобны, и основание, и боковая сторона первого треугольника относится как 6: 5 , следовательно основание и боковая второго треугольника полностью соответствует первому треугольнику . пусть боковая сторона второго равна 5х, основание равно 6х, составим уравнение : 5х+5х+6х=48 16х=48 х=48: 16 х=3 5х=5*9=15 ( боковые стороны) 6х=6*3=18 (основание) ответ : 15см и 18 см.