Найдите диагональ равнобедренной трапеции если площадь равна 96 а средняя линия 8

Пусть ABCD равнобедренная трапеция (AD || BC и AB=CD).
S(ABCD) =96; (AD+BC)/2 =8.
---
AC=BD -?

S(ABCD)=(1/2)*(AD+DE)*h , h_высота трапеци.
96 =8*h ⇒ h =12.
Проведем CE || BD ,  E_точка пересечения CE и AD .
Четырехугольник BCED параллелограмм и DE=BC ,CE = BD.
ΔACE - равнобедренный CE = BD= AC и поэтому,если CM медиана, то она и высота. AM =AE/2 =(AD+DE)/2 =8. 
Из ΔACM по теореме Пифагора:

AC =√(AM²+CM²) =√(8²+12²)=√210.

Так как в условии сказано "В треугольнике  постройте точку", а треугольник - это плоская фигура, то значит надо построить точку ВНУТРИ треугольника. Точка, равноудаленная от сторон треугольника - это центр вписанной окружности. Этот центр лежит на пересечении биссектрис треугольника. Таким образом, надо построить треугольник по трем сторонам, а затем построить биссектрисы двух углов (достаточно). Точка пересечения этих биссектрис и даст нам искомую точку.
Для построения на прямой "а" откладываем сторону АС треугольника (например, равную 7см) и из точек А и С проводим дуги окружностей радиусами 5см и 6см соответственно. Пересечение этих дуг даст нам точку В (вершину треугольника). Теперь делим углы А и С пополам. Для этого проводим окружности с центрами в точках А и С так, чтобы получить точки пересечения D и E, F и G этих окружностей со сторонами АВ и АС,  СВ и АС соответственно. Из точек D и E, F и G проводим дуги окружностей радиусами DE и FG, соответственно и соединив полученные точки пересечения окружностей, получаем искомые биссектрисы и точку O их пересечения. Это и есть искомая точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Расстояние от найденной точки до сторон треугольника (радиус вписанной окружности) можно найти по формуле: r=S/p, где S - площадь треугольника, а
р - его полупериметр. У нас p = (5+6+7):2=9.
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] = √(9*2*3*4)=6√6.
r=6√6/9=2√6/3≈1,6см.

Раз призма правильная треугольная, значит в основании лежит правильный треугольник.

Площадь правильного треугольника рассчитывается по формуле:

Сторона основания - это и есть сторона правильного треугольника. Значит, а = 6.

Площадь одного основания будет равна:

Таких оснований в призме два, значит сумма их площадей будет равна:

=

Боковая поверхность призмы складывается из площадей трех четырехугольников. Площадь каждого четырехугольника равна произведению высоты призмы на сторону основания: h*a = 6*h.

Площадь боковой поверхности призмы арвна:

3*6*h = 18*h.

площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей ее оснований. Приравниваем обе суммы, получаем уравнение:

= 18*h.

Решаем уравнение:

h = .

Высота, то есть длина бокового ребра призмы равна .