Abc- равнобедренный треугольник с основанием ас. каждый угол при основании равен 60 градусов. биссектрисы углов при оснований равен 60 градусов. биссектрисы углов при основании пересекаются в точке d. найдите угол adc.

См. рис.1

Так как ABCD - параллелограмм, то: AO = OC; BO = OD.

По теореме о свойствах отрезков прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей параллелограмма: OP = OM и  OK = ON.

Так как ∠BOP = ∠MOD и ∠BON = ∠KOD, как вертикальные, то:

ΔВОР = ΔMOD по 1-му признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), то BP = MD = 7 см.

ΔBON = ΔDOK по тому же 1-му признаку равенства треугольников. Следовательно: BN = KD = 6 см.

Периметр параллелограмма АВСD:

Р = 2*(AB + AD) = 2*(16+6 + 18+7) = 2 * 47 = 94 (см)

-------------------------------

См. рис.2

Теорема о свойствах отрезков прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей параллелограмма: Данные отрезки делятся точкой пересечения диагоналей параллелограмма пополам.

Доказательство: пусть АВСD - данный параллелограмм и EF - прямая, пересекающая параллельные стороны AD и ВС. Треугольники ВОЕ и FOD равны по второму признаку (стороне и двум прилежащим углам). В этих треугольниках:

ВО = ОD, так как О - середина диагонали АС,

Углы при вершине О равны, как вертикальные, а углы BOE и FOD равны, как внутренние накрест лежащие при параллельных АС и ВС и секущей BD. Из равенства треугольников следует равенство сторон:  OE = OF, что и требовалось доказать.

Дано: АВСД - трапеция, ∠А=∠В=90°; ∠С=120°; АД=АС=12 см.

Найти КМ.

Решение: Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, численно равен половине их разности. Задача сводится к нахождению основания ВС.

Рассмотрим ΔАСД - равнобедренный, с основанием СД.

∠СДА=180-120=60°, т.к. сумма углов, прилежащих к одной стороне трапеции, равна 180°.

Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠АСД=∠СДА=60°.

Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, ∠АСВ=120-60=60°, тогда ∠САВ=90-60=30°.

Катет ВС лежит против угла 30°, поэтому равен 1\2 АС=6 см.

КМ=(12-6):2=3 см.

ответ: 3 см.