Дан прямоугольный треугольник rst с прямым угломt. на катете rt взята точка м. окружность диаметром тм и ценром о касается гипотенузы в точке n. доказать, что mn и so параллельны

Как-то сложно сформулировано, непонятно немного. Долго пытался представить чертёж, и примерно решил, что  в условии имеется в виду, что ТМ является диаметром некой окружности, следовательно центр окружности (предположительно называемый О) находится на катете RT, ровно посерединке отрезка МТ. И при этом окружность вписана в угол TSR. Всё так?
Чертёж я по-любому рисовать не буду, ты уж как-нибудь сам.

Если всё так, то поехали. Проведём отрезок OS. Он пересечёт окружность в некой точке внутри треугольника, обозначим её буквой Х.

Смотрим теперь на два угла: ТОN и ТМN. Оба опираются на одну и ту же дугу TXN. Ещё замечаем, что ТОN является центральным углом окружности, а TMN вписанным. Следовательно TMN составляет половину от TОХ. А также видим, что отрезок SO одновременно является биссектрисой угла TSR, и бьёт точкой Х дугу TN ровно пополам. Следовательно, угол ТОХ, он же TOS равен углу TMN. 

А раз такое дело, что отрезок RT пересекает два других: SO и MN под одним и тем же углом, то указанные два отрезка SO и MN параллельны. Вот, как бы, и всё. Привет учительнице.

Считаем тр-к равнобедренным, т.О пересечение биссектрис; если угол при вершине по условию 120 гр., то равные углы при основании А и С=(180-120)/2=30гр.;
биссектриса АЕ делит угол А на 2 по 15 гр.; рассм. тр-к АОД, он прямоугольный, т.к. биссектриса ВД является медианой и высотой равнобедренного тр-ка.
Угол АОД=90-15=75 гр. по свойству острых углов прямоугольного тр-ка.
Углы АОД и ВОЕ вертикальные, значит угол ВОЕ=75гр.
Аналогично угол FOB=75гр. Значит угол между биссектрисами АЕ и CF угол FOE=75+75=150 гр. 

Пусть abc - произвольный треугольник. проведем через вершину b прямую, параллельную прямой ac. отметим на ней точку d так, чтобы точки a и d лежали по разные стороны от прямой bc.углы dbc и acb равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей bc с параллельными прямыми ac и bd. поэтому сумма углов треугольника при вершинах b и с равна углу abd.сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов abd и bac. так как эти углы внутренние односторонние для параллельных ac и bd при секущей ab, то их сумма равна 180°. что и требовалось доказать.