Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и наклонена к плоскости основания под углом 30 °. найдите объем цилиндра. в нижней основе цилиндра хорда, равная 6 см, удаленная от его оси на расстояние 4 см. вычислите объем цилиндра, если расстояние от центра верхней основания цилиндра до конца этой хорды равна 13 см. в цилиндре параллельно его оси на расстоянии 4 см от нее проведено сечение, диагональ которого равна 6 √5см. вычислите объем цилиндра, если его радиус равен 5 см. медный провод диаметром 2 мм имеет массу 5, 6 кг. найдите длину проволоки, если известно, что плотность меди равна 8, 9⋅ 103 кг / м3. найдите площадь круглого пятна на поверхности моря, образованное 1 м3 разлитой нефти, если толщина пленки равна 1 мм

1. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник.

Из прямоугольного треугольника ABD:

AD = AC · sin 30° = 8 · 1/2 = 4 см - высота цилиндра,

AB = AC · cos 30° = 8 · √3/2 = 4√3 см - диаметр основания.

R = 1/2 AB = 2√3 см

V = Sосн · h = πR²h = π · (2√3)² · 4 = π · 12 · 4 = 48π см³

2. Пусть Н - середина хорды АВ, тогда ОН - медиана и высота равнобедренного треугольника АОВ (ОА = ОВ как радиусы).

Значит ОН = 4 см - расстояние от оси до хорды.

ОН - проекция СН на плоскость основания, значит СН⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.

СН = 13 см - расстояние от центра верхнего основания до хорды.

ΔСОН: ∠СОН = 90°, по теореме Пифагора:

            СО = √(СН² - ОН²) = √(13² - 4²) = √(169 - 16) = √153  = 3√17 см - высота цилиндра.

ΔОНВ: ∠ОНВ = 90°, НВ = 1/2 АВ = 3 см, ОН = 4 см, египетский треугольник, ⇒ ОВ = 5 см - радиус основания.

Итак, R = 5 см, h = 3√17 см,

V = Sосн · h = πR²h = π · 5² · 3√17 = π · 25 · 3√17 = 75√17π см³

3. Сечение цилиндра, параллельное оси - прямоугольник.

Пусть Н - середина АВ, тогда ОН - медиана и высота равнобедренного треугольника АОВ (ОА = ОВ как радиусы).

Значит ОН = 4 см - расстояние от оси до сечения.

ΔАОН: ∠АНО = 90°, ОН = 4 см, ОА = 5 см, египетский треугольник, ⇒

АН = 3 см, а АВ = 6 см.

ΔАВС: ∠АВС = 90°, по теореме Пифагора

            СВ = √(АС² - АВ²) = √((6√5)² - 6²) = √(180 - 36) = √144 = 12 см - высота цилиндра.

Итак, R = 5 см, h = 12 см,

V = Sосн · h = πR²h = π · 5² · 12 = π · 25 · 12 = 300π см³

4. Провод имеет форму цилиндра, высота цилиндра - его длина.

R = d/2 = 1 мм = 0,001 м

Масса провода:

m = V·ρ

V = m/ρ = 5,6 / (8,9 · 10³) = 56/89 · 10⁻³ м³

Sосн = πR² = π · (10⁻³)² = π · 10⁻⁶ м²

V = Sосн · h

h = V / Sосн

h = 56/89 · 10⁻³ / (π · 10⁻⁶) = 56/(89π) · 10³ м ≈ 200 м

5. Пятно имеет форму цилиндра с высотой 1 мм, объемом 1 м³.

V = 1 м³,

h = 1 мм = 10⁻³ м

Sосн = V / h = 1 / 10⁻³ = 1000 м²

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, а центры окружностей лежат на биссектрисе угла ASB. Тогда SK - биссектриса и высота равнобедренного треугольника ASB т.е. SK⊥AB. Аналогично, SН⊥ CD, тогда КН - искомое расстояние между прямыми АВ и CD.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит ∠MBS = ∠ODS = 90°.

Угол при вершине S общий для треугольников MBS и ODS, значит треугольники подобны по двум углам.

SM : SO = MB : OD = 36 : 45 = 4 : 5

SO = SM + MO, а МО = 36 + 45 = 81

SM : (SM + 81) = 4 : 5

5SM = 4SM + 324

SM = 324

ΔSBM: ∠SBM = 90°

            cos∠SMB = BM / SM = 36 / 324 = 1/9

ΔMBK: ∠MKB = 90°

            KM = MB · cos∠SMB = 36 · 1/9 = 4

∠SOD = ∠SMB так как треугольники подобны.

ΔODH: ∠OHD = 90°

            OH = OD · cos∠SOD = 45 · 1/9 = 5

KH = KM + MO - OH

KH = 4 + 36 + 45 - 5 = 80

           

Проекция наклонной на плоскость - это отрезок один из концов которого есть один из концов наклонной принадлежащий данной плоскости, другой - перпендикуляр, опущенный из второго конца наклонной на данную плоскость. Рассмотрим треугольник, образованный наклонной, ее проекцией и перпендикуляром опущенным из конца наклонной не принадлежащего данной плоскости на эту плоскость. Он прямоугольный. Если катет вдвое меньше гипотенузы, то угол противолежащий катету равен 30 градусов, следовательно угол фи равен 180 - (90+30)=60