Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна высоте и равна 6 м. найти объем описанного шара.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна высоте и равна  6 м. Найти объем описанного шара.

V =4 *π *R³/3

R=?

V=?

R = радиусу окружности, описанной около равнобедренного треугольника с боковыми сторонами, равными боковым ребрам пирамиды, и основанием, равным диагонали основания пирамиды.  

нахождения радиуса описанного шара 

Радиус описанной окружности 

R=a*b*c:4S=АМ*МС*АС:4*(МН*АС:2)

АС- диагональ основания и по свойству диагонали квадрата равна АB*√2=6√2

АН=АС:2=3√2 

По т.Пифагора

АМ=√(АН²+МН²)=3√6

4S(∆АМС)=4*MН*AН=4*6*3√2

R=АМ*МС*АС:4*(МН*АС:2)=18/4=4,5 м

-------------

нахождения радиуса шара (см.рисунок).

МН - высота пирамиды. 

АС - диагональ основания. 

МО=AO=CO=R

Пусть ОН=х, тогда 

МО=МН-х=6-х

МК- диаметр шара. 

АС и МК - хорды. (диаметр - тоже хорда)

Н - точка их пересечения. 

АН=3√2 (см. выше)

АН*НС=МН*НК ( свойство хорд)

МН=6, НК=6-2х

(3√2 )²=6*(6-2х)

18=36-12х

-18=-12х

х=1,5

R=6-1,5=4,5 м

--------------

V=4*π*(4,5)³:3

V=121,5π или ≈381,7 (π -полностью по калькулятору)

Если брать π=3,14,  то

V=381,51. Разница довольно существенная. 

1. В прямоугольнике диагонали образуют треугольники, у которых углы при основании равны.

2. Угол BOC=AOD (как вертикальные); рассмотрим треугольник BOC: угол OBC=OCB, ВС=5 см. Т.к. в треугольнике сумма углов равна 180 градусам, то 180-60=120 гр, а 120:2=60 гр. Значит, OBC=OCB=60 гр., а треугольник BOC - равносторонний.

3. Треугольники BOC и AOD равны, т.к. угол BOC=AOD (как вертикальные), DAO=OCB=ADO=OBC (как внутренне накрест лежащие). BC=AD=BO=OC=AO=DO=5 см.

Значит, диагональ AC=DB (т.к. точка О середина пересечения диагоналей) = 10 см

ответ: AC=DB=10 cм

1. В прямоугольнике диагонали образуют треугольники, у которых углы при основании равны.

2. Угол BOC=AOD (как вертикальные); рассмотрим треугольник BOC: угол OBC=OCB, ВС=5 см. Т.к. в треугольнике сумма углов равна 180 градусам, то 180-60=120 гр, а 120:2=60 гр. Значит, OBC=OCB=60 гр., а треугольник BOC - равносторонний.

3. Треугольники BOC и AOD равны, т.к. угол BOC=AOD (как вертикальные), DAO=OCB=ADO=OBC (как внутренне накрест лежащие). BC=AD=BO=OC=AO=DO=5 см.

Значит, диагональ AC=DB (т.к. точка О середина пересечения диагоналей) = 10 см

ответ: AC=DB=10 cv