Всектор , центральный угол которого 120 градусов, вписан квадрат со стороной а. найти радиус сектора

В сектор, центральный угол которого 120 градусов, вписан квадрат со стороной а. Найти радиус сектора.

Обозначим вписанный квадрат АВСД, 

В и С - точки касания с дугой сектора,  точки  А и Д - с его сторонами-радиусами, О - вершина угла сектора. 

∆ АОД - равнобедренный, углы при А и Д равны 30º.

Из О проведем биссектрису угла АОД до пересечения с ВС в точке М. Обозначим точку пересечения с АД - Н. 

Тогда ВО - искомый радиус R

R²=МО²+МВ²

МВ=а/2

МО=МН+НО

МН=а, 

ОН=ДН*tg30º=(а/2)*1/√3=a/2√3

МО=а+a/2√3=а(2√3+1)

R²=[3a²+a²(2√3+1)²]:12

R²=a²(4+√3):3

R=a√(4+√3):√3

--------------------------------------------------

Или по т. косинусов:

R²=АВ²+АО²- 2АВ*АО*cos∠ВАО

∠ВАО=90º+30º=120º

cos120º=-cos∠60º= -1/2

Из ∆ АОН

АО=АН/sin60º=a/√3

R²=а²+а²/3- (2а²/√3)*(-1/2)

R²=а²(4√3+3):3√3=а²(4√3+√3*√3):3√3

Сократим выражение на √3

R²=а²(4+√3):3

R=a√(4+√3):√3

Если третья сторона будет=1 см, то не получится неравенство: 1см+1см= 2 см, тогда 3см>2 см, а должно быть<. Если третья сторона = 2 см, то неравенство опять не получится: 2+1=3, тогда 3=3, так тоже не может быть, т.к. одна из сторон треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон. Если третья сторона =3 см, тогда 1+3=4, 3<4, неравенство выполняется, 3+3=6, 3<6- неравенство получается. Возьмем 4 см: 3+1=4, 4=4- не получается, значит и в последующих числах не получится. ответ: 3 см

Пусть АВ ∩ СD = О  При пересечении двух прямых получаем пары равных углов : ∠AOD = ∠COB  = x    и     ∠AOC = ∠DOB = y
По  условию  задачи  ∠AOD + ∠DOB +∠ BOC = 278° , а сумма  всех  четырёх углов  равна  360° .    Получим  систему :
     x + y + x = 278°                2 x + y = 278°             2 x + y = 278°
                                      ⇒                                 ⇒
     x + y + x + y =360°            2 x + 2 y = 360°          x + y  = 180°
Из  второго уравнения  выразим  у  чеоез  х  :   у = 180°-х  и  подставим  это значение  в 1  уравнение :  2 х + (180° - х ) = 278° ⇒
х + 180° = 278 °  ⇒ х= 278° - 180°   ⇒  х = 98°
Тогда  у = 180° - х = 180° - 98° = 82°
                                                         ответ :  98 ° ; 82° ; 98° ; 82°