Найдите синус и косинус наибольшего угла треугольника, стороны которого равны 40 см, 75 см, 105 см.

как ни удивительно, но в данном случае формула герона для площади - это самый простой способ вычисления синуса большего угла. к сожалению, этот треугольник нельзя разрезать на пифагоровы.

 

первое, что надо понять - все размеры можно смело сократить на 5. в этом случае получается треугольник со сторонами 8, 15, 21, подобный исходному, то есть у него - такие же точно углы. нужно найти угол противолежащий стороне 21(против большей стороны лежит больший угол). обозначим его ф.

надем площадь. 

полупериметр (8 + 15+ 21)/2 = 22; 22 - 8 = 14; 22 - 15 = 7; 22 - 21 = 1;

s^2 = 22*14*7*1 = 11*14^2; s = 14*корень(11);

поскольку s = 8*15*sin(ф)/2, то sin(ф) = (7/30)*корень(11);

 

с другой стороны, для cos(ф) можно записать теорему косинусов

21^2 = 8^2 + 15^2 - 2*8*15*cos(ф);  

откуда  cos(ф) = (21^2 - 8^2 - 15^2)/240 = 19/30;

 

поскольку оба результата на первый взгляд получены разными способами, можно проверить, что

(sin(ф))^2 +   (cos(ф))^2 = 1; сделайте это сами : )

 

пусть о - середина отрезка ав. опустим перпендикуляры к плоскости из точек а, в и о, соответствующие точки на плоскости обозначим a', b' и o', отрезки аа', вв' и оо' - параллельны.так как проекция сохраняет отношение длин коллинеарных отрезков, то a'o'/o'b'=ао/ов=1, т.е.o' - середина a'b'. получается, что а'авв' - трапеция, где а'а и в'в - основания, а о'о - её средняя линия. длина средней линии трапеции равна полусумме длин её оснований.

(2,4+7,6): 2=5 (см)

ответ: расстояние от середины отрезка ав до плоскости 5 сантиметров.

При нахождении тангенса угла: значение угла выбирается из левого столбца, значение минут - из верхней строки, поправка прибавляется к выбранному значению (так как тангенс с увеличением угла растет). при нахождении котангенса угла: значение угла выбирается из правого столбца, значение минут - из нижней строки, поправка вычитается из выбранного значения (так как котангенс с увеличением угла уменьшается). tg 20°30' ≈ 0,3739                        ctg 20°30' ≈ 2,675 tg 40°15' ≈ 0,8466                        ctg 40°15' ≈ 1,1813 tg 35° ≈ 0,7002                              ctg 35° ≈ 1,4232 tg 58° ≈ 1,6003                              ctg  58° ≈ 0,6249 tg 80°45' ≈ 0,1644                        ctg 80°45' ≈ 0,1629