Впрямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотинузой c вписана окружность радиуса r.докажите, что r= a+b-c/2

Дано:
ABC-треугольник
угол ABC=90°
O;R;
тр. док-ть что :
r =(a+b-c)/2

Решение:
Построим три радиуса перпендикулярные сторонам треугольника, получи шесть треугольников.
видим общие гипоиенузы, и из теоремы пифогоры с²=а²+b², составим уравнение, где х-кусок гипотенузы, отсекаемый радиусом:
Получим систему
(b-r)²+r²=(c-x)²+r²
(a-r)²+r ²=x²+r²
отсюда следует
b-r=c-x
a-r=x
b-r=c-a+r
2r=a+b-c
r =(a+b-c)/2
Что и требовалось доказать.

Радиус окружности вписанный в любой треугольник находится по формуле:

по формуле Герона, радиус можно выразить через площадь

ответ: 6 см и 6,5 см

Объяснение:  Обрзначим трапецию АВСД, ВС||АД,

ВС=5 см; АД=8 см; АВ=3,6 см; СД=3,9 см.

 Расстоянием между двумя точками является длина отрезка, который их соединяет.

 При продолжении боковых сторон образовались Δ АМД и Δ ВМС. Основания трапеции параллельны, поэтому соответственные  ∠МАД=∠МВС, угол М - общий для обоих треугольников, поэтому

∆ МВС~∆МАД. k=BC:АД=5:8

Примем сторону МВ=х, а сторону МС=у.

Тогда МВ:МА=х:(х+3,6)=5:8 ⇒ х=6  ⇒ МВ=6 см

Аналогично МС:МД=у:(у+3,9) ⇒ у=6,5  ⇒ МС=6,5 см

1. Проведем КН⊥DF.  ΔDKF равнобедренный, значит КН - высота и медиана.
DH = HF = 6 см.
КН - проекция наклонной МН на плоскость DKF, значит, МН⊥DF по теореме о трех перпендикулярах.
МН - искомое расстояние.
ΔDKH: ∠KHD = 90°, по теореме Пифагора
KH = √(KD² - HD²) = √(100 - 36) = √64 = 8 (см)

ΔКМН: ∠MKH = 90°, по теореме Пифагора
MH = √(MK² + KH²) = √(225 + 64) = √289 = 17 (см)

2. ВА⊥AD, BA - проекция наклонной В₁А на плоскость основания. Значит, В₁А⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.
∠В₁АВ - линейный угол двугранного угла В₁АDB - искомый.

Так как ABCD квадрат, его сторона АВ = АС/√2 = 6 (см)
Δ В₁АВ: ∠В₁ВА = 90°,
cos∠В₁АВ = AB/AВ₁ = 6/(4√3) = √3/2
⇒ ∠В₁АВ = 30°