К- 4 .декартовы координаты и векторы в пространстве . вариант a1.дан треугольник abc с вершинами a ( 11, -2, -9)b(2, 6, -4)c(8, -6, -8) 1-найдите координаты середины отрезка вс. 2-найдите координаты и модуль вектора bc. 3- найдите вектор ab+bc. 4-докажите перпендикулярность вектора abиac.

1-найдите координаты середины отрезка ВС:
М=((2+8)/2=5; (6-6)/2=0; (-4-8)/2=-6),
М=(5;0;-6).

2-найдите координаты и модуль вектора BC:
   Вектор ВС= (8-2; -6-6; -8+4) = (6; -12; -4).
Модуль равен √√6²+(-12)²+(-4)²) = √196 =  14.

3- найдите вектор AB+BС.
   Вектор АВ =  (-9; 8; 5),
   Вектор ВС = (6; -12: -4).
   AB+BС = (-9+6=-3; 8-12=-4; 5-4=1),
    AB + BC = (-3; -4; 1),
    Модуль = √((-3)²+(-4)²+1²) = √26 = 5,0990195.

4-докажите перпендикулярность вектора AB и AC.
   Вектор АВ =  (-9; 8; 5),
   Вектор АС = (-3;-4; 1).
   α=arccos |-9*(-3)+8*(-4)+5*1|/(√((-9)²+8²+5²)*√((-3)²+(-4)²+1²) = arccos 0/(√170*√26) = arccos 0 =  1.570796 радиан = 
= 90 градусов.

Дано: прямоугольный треугольник АВС;

угол С = 90;

СА = 3;

СВ = 4;

СН - высота.

Найти: СН - ?

1) рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Тогда по теореме Пифагора:

АС^2 + СВ^2 = АВ^2;

3^2 + 4^2 = АВ^2;

9 + 16 = АВ^2;

25 = АВ^2;

АВ = 5;

2) В прямоугольном треугольнике каждый катет - это среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Тогда

ВС = √( АВ * НВ);

4 = √( 5 * НВ) (возведем правую и левую часть в квадрат);

16 = 5 * НВ;

НВ = 16/5;

НВ = 3,2;

3) АС = √( АВ * НА);

3 = √( 5 * НА) (возведем правую и левую часть в квадрат);

9 = 5 * НА;

НА = 9/5;

НА = 1,8;

4) СН = √АН * НВ;

СН = √1,8 * 3,2;

СН = √5,76;

СН = 2,4.

ответ: 2,4.

1)

Δ АСВ – прямоугольный.

По теореме Пифагора

АВ2=AC2+BC2=225+400=625

AB=25

Проводим высоту СН прямоугольного Δ АСВ

СH– проекция MH

CН⊥АВ, по теореме о трех перпендикуярах MH ⊥АВ

Расстояние от вершины M до АВ и есть МН,

Из формула площади прямоугольного треугольника АСВ

S=1/2·АС·ВС

и

S=(1/2)·АВ·СН

СН=АС·ВС/АВ=20·15/25=12

Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный

МН=СН/сos 60 °=12/0,5=24

О т в е т. Расстояние от вершины пирамиды до прямой АВ равно 24 см.

2)

Из прямоугольного треугольника МСН прямоугольный

МC2=MH2–CH2=242–122=432

MC=12√3

S=S Δ MBC+S Δ MAB+S Δ MAD+S Δ MDC+S(ABCD)

S Δ MBC=(1/2)BC·CD=(1/2)·20·12√3=

S Δ MAB=(1/2)AB·CH=(1/2)·25·12=150

CK⊥АD

CK=AB·CH/AD=25·12/20=15

S Δ MAD= (1/2)AD·CK=(1/2)20·15=150

S Δ MDC=(1/2)CD·MC=(1/2)·25·12√3=

S(ABCD)=2S Δ ABC=2·(1/2)BC·AC=20·15=300