Дано: прямоугольный треугольник kbc kc=5cm

АВ = ВС = АС = 4;  ∠А = ∠В = ∠С =60°.

Объяснение:

По теореме синусов найдём ∠АВМ.

АМ : sin ∠АВМ = 2√3 : sin 60°

(4:2) : sin ∠АВМ = 2√3 : √3/2

sin ∠АВМ = 1/2,

следовательно, ∠АВМ = 30°.

В Δ АВМ  ∠АМВ = 180 - 60 - 30 = 90 °; следовательно треугольник АВМ  является прямоугольным, а катет АМ, лежащий против угла 30°, равен 1/2 АВ, откуда АВ = 2 · 2 = 4.

По теореме Пифагора находим ВС = 4

ВС = √(2² + (2√3)² = √16 = 4.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

ответ: АВ = ВС = АС = 4;  ∠А = ∠В = ∠С =60°.

Sboc = 80 ед².

Объяснение:

АА1 и ВВ1 - биссектрисы (дано). Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник (свойство биссектрис треугольника). Следовательно, расстояние от точки О до прямой ВС (являющееся высотой треугольника ВОС), равно радиусу вписанной окружности, равному по условию отрезку ОК (перпендикуляр к стороне АВ) = 8 см.

Тогда площадь треугольника ВОС равна половине произведения высоты на сторону, у которой проведена эта высота. То есть

Sboc = (1/2)·8·20 = 80 ед².