Втреугольнике abc ac=45, bc=5 корней из 19, угол c=90 градусов. найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу:
АВ = √(АС² + ВС²) = √(45² + (5√19)²) = √(2025 + 475) = √2500 = 50
R = AB/2 = 25

Даны координаты вершин треугольника: A(−12;−1); B(0;−10); C(4;12).

1) Находим длину стороны АВ.

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √((0-(-12))²+(-10-(-1))²) = √(144 + 81) =

          =  √225 =  15.

2) Уравнения сторон AB и ВC и их угловые коэффициенты;

Находим векторы АВ и АС:

АВ: (12; -9), ВС:(4; 22).

Получаем уравнения:

АВ: (х + 12)/12 = (у + 1)/(-9),

ВС: х/4 = (у + 10)/22.

Угловые коэффициенты сторон      

Кав = Ув-Уа =  -9/12 = -3/4 = -0,75.

           Хв-Ха

Квс = Ус-Ув = 22/4 = 11/2 = 5,5.

           Хс-Хв

   3) Угол В между прямыми AB и BC в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой. Находим по теореме косинусов.

Находим длины сторон.

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √225 =  15.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √500 = 10√5 ≈ 22,36068.

Векторы ВА: (-12; 9), ВС:(4; 22).

cos В = (-12*4 + 9*22)/(15*10√5 = 150/(150√5) = √5/5.

В = arc cos(√5/5) ≈ 1,107148718 ≈ 1,11 радиан .

4) Уравнение высоты CD и ее длину.

Находим площадь треугольника по формуле:

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)|.

Подставив координаты точек, получаем S = 150 кв.ед.      

Длина СD = 2S/AB = 2*150/15 = 20.

k(CD) = -1/k(AB) = -1/(-3/4) = 4/3.

Уравнение: у = (4/3)х + в. Подставим координаты точки С.

12 = (4/3)*4 + в, отсюда в  = 12 - (16/3) = 20/3.

Уравнение CD: y = (4/3)x + (20/3) .

5) Уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD .

Точка Е как середина ВС: ((0+4)/2=2; (-10+12)/2=1) = (2; 1).

Вектор АЕ: (14; 2)

Уравнение АЕ: (х + 12)/14 = (у + 1)/2.

Приведём к виду с угловым коэффициентом:

у = (1/7)х + (5/7).

Точка К как пересечение AE и CD.

Приравниваем:  (1/7)х + (5/7) =  (4/3)x + (20/3),

(-25/21)х = (125/21).

Отсюда х(К) = -5, у(К() = 0.

6) Уравнение прямой L, которая проходит через точку K параллельно  стороне AB.

Угловой коэффициент  Кав  -3/4 сохраняется для прямой L.

Уравнение у = (-3/4)х + в.

Для определения значения в подставим координаты точки К.

0 = (-3/4)*(-5) + в, отсюда в = 0 - 15/4 = (-15/4).

Уравнение у = (-4/3)х - (15/4).

7) Координаты точки F(xF , yF ) , которая находится симметрично точке A относительно прямой CD (это перпендикуляр к АВ).​

Находим координаты точки Д как точки пересечения высоты СД и стороны АВ. х(Д) = -8, у(Д) = -4.

Тогда x(F) = 2x(D) - x(A) = -16 -(-12) = -4.

          y(F) = 2y(D) - y(A) = -8 -(-1) = -7.

Дана точка A(2; 0,25) и прямая, проходящая через эту точку и пересекающаяся с положительными полуосями в  точках B и С.

Найти уравнение прямой, для которой отрезок ВС будет минимальным.

Эта задача имеет 2 решения:

- 1) миниминизация длины отрезка ВС с применением теоремы Пифагора для треугольника с катетами ОВ и ОС,

- 2) те же действия с использованием критического угла наклона отрезка к оси Оу при его минимальной длине.

1) Пусть ордината точки В равна "b", а абсцисса точки С равна "а".

Из подобия треугольников и координат точки А имеем:

b/0,25 = a/(a - 2), отсюда получаем соотношение для "b":

b = 0,25a/(a - 2).

Получаем функцию зависимости длины L отрезка ВС от одного из параметров:

L = √(a² + b²) = √(a² + (0,25a/(a - 2))²).

Для определения минимума функции нужно найти производную этой функции и приравнять нулю.

dL/da = (a(a³ - 6a² + 12a - 8,125))/((a - 2)³*√(0,0625/(a - 2)²) + 1)*a²)).

Приравниваем нулю числитель, решением кубического уравнения есть величина а = 2,5.

Тогда b = 0,25*2,5/(2,5 - 2) = 1,25.

Получаем минимальную длину ВС = √(1,25² + 2,5²) = √7,8125.

Поучаем: L = 2,795084972.

2) Для этого варианта есть готовая разработка решения.

Минимальная длина находится сразу по формуле:

L = (a^(2/3) + b^(2/3))^(3/2).

Подставив в формулу a = 2 и b = 0,25, получаем результат:

2 2 0,25  

1,107148718 0,894427191 0,447213595  

63,43494882 2,236067977 0,559016994 = 2,795084972.

По полученным a и b находим уравнение прямой.

у = -(b/a)x + b = -(1,25/2,5) x+ 1,25 = -0,5x + 1,25.

Решение аналогичной задачи, в которой выведена данная формула приведено во вложении.