Вокружность с центром o вписан угол авсравный 70 градусов. найдите угол aco.

Проведем диаметр СК.
∠КАС = 90° как вписанный, опирающийся на диаметр.
∠АКС = ∠АВС = 70° как вписанные, опирающиеся на одну дугу.
ΔАКС: ∠АСК = 180° - 90° - 70° = 20°
ответ: ∠АСО = 20°

Так как ΔABC — равносторонний, то:

Это очень важно учитывать!

Стороны вписанного треугольника — перпеникулярны сторонам исходного треугольника ABC, то есть:

То есть, образуются прямоугольные треугольники:

И так как углы исходного треугольника равны 60°, то:

Теорема о 30-градусном угле прямоугольного треугольника такова: катет, противолежащий углу 30-градусов — равен половине гипотенузы.

То есть:

Также, эти прямоугольные треугольники друг другу равны, по двум углам (60°; 30°), и по одному катету: OP ≡ NO ≡ NP, так как вписанный треугольник — равносторонний.

И так как:

Вывод: Вершины вписанного треугольника делят сторону исходного треугольника в отношении: 2:1.

Задача 1) Из треуг ВДС:

Гипотенуза BC = корень из (18*18+24*24) = корень из 900=30 см

Тогда:

cos C =18/30=3/5, тогда

sin А =3/5, тогда

cos^2 A =1 - (3/5)^2=1-(9/25)=(16/25)

cos A=(4/5)=0.8

АB=BD/sinA=24*5/3=120/3=40 см

Задача 2)

Треугольник АСD- прямоугольный

sin A= sin 37= CD/AC

AD=cos 37 * AC =3 cos 37

C= CD*AD=3 sin 37*3 cos 37 =9

Sin 37 *cos 37 =4,32 cм^2

Задача 3) Треугольники ABC и AMN подобны по 2-у признаку (стороны пропорциональны по условию, в угол А общий). По теореме S1/S2= k^2

k=AM/AB=2/(2+3)=2/5 S1/75=4/25

Отсюда S1=75*4^25=12