Oa=oc; ав=сd; к- точка пересечения ad и bc. доказать: испльзуя осевую симметрию, что ок-биссектриса угла bod

Доказать: ΔСDB подобен ΔADB
Решение:
Сторона BD у треугольников общая
угол CBD равен углу ADB и угол ABD равен углу BDC как внутренние разносторонние при BC паралельно AD, ВD-секущая.
Треугольники подобны по 1 признаку.
 

Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :)
Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) )
Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC;
то есть ∠BAC = ∠BA1C;
Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому
∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK;
следовательно ∠BAC = ∠BMK; 
и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.

Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.

Дополнение. Тривиальный решения тут такой.
∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C;
BK =  BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A);
BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C);
То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны.
коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.

Примем коэффициент отношения ВР:АР равным а 

Тогда ВР=а, АР=3а, АВ=4а

РТ║АС, АВ - секущая при них. ⇒

углы при основаниях ∆ АВС и ∆ ВРТ равны как соответственные, угол В общий. ⇒

∆ АВС~∆ ВРТ. ВР:АВ=1/4⇒

РТ:АС=1/4⇒ 

АС=4РТ

АРТС - трапеция. в неё вписана окружность. Вписать окружность в трапецию можно тогда и только тогда, когда сумма её оснований равна сумме боковых сторон. ⇒

РТ+АС=АР+ТС=6а. 

АС=6а-РТ

РТ:(6а-РТ)=1/4⇒

4РТ=6а-РТ

5РТ=6а—

РТ=1,2а

АС=4,8а

Опустим высоту РН. Высота равнобедренной трапеции делит большее основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований, меньший – их полуразности. 

АН =(АС-РТ):2=(4,8а-1,2а):2=1,8а

Из прямоугольного ∆ АРН по т.Пифагора найдем значение а. 

АР²-АН²=РН²

9а²-3,24а²=81⇒ 

5,76а²=81⇒ 

а=√14,0625=3,75

Р=12а=45 см