Основания трапеции равны 4 и 16. найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около неё, если известно, что эти окружности существуют. с рисунком.

Решение дано во вложении.

Так как вписанная и описанная окружности существуют, то данная трапеция равнобедренной.

По свойства описанного четырехугольника, суммы его противоположных сторон равны:

Две стороны AD и ВС известны, две другие АВ и СD равны между собой, тогда:


Проведем высоты BH и СК, равные диаметру вписанной окружности. Тогда отрезок НК будет равен отрезку ВС, а оставшаяся длина отрезка АD распределится поровну между отрезками АН и КD. Получаем:
;

Рассмотрим треугольник АВН. По теореме Пифагора:

Так как найден диаметр вписанной окружности, то можно найти и радиус:


Проведем диагональ трапеции AC. По теореме Пифагора для треугольника АСК получим:


Рассмотрим треугольник АСD. Окружности, описанные около заданной трапеции и около треугольника ACD совпадают. Тогда найдем радиус описанной окружности треугольника ACD через теорему синусов: отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла есть удвоенный радиус описанной окружности. Удобно записать соотношение в следующем виде:

Неизвестный синус найдем из прямоугольного треугольника АКС:

Выражаем R и подставляем выражение для синуса:


ответ: радиус вписанной окружности ; радиус описанной окружности

1) 1 случай: если внешний угол при основании, тогда смежный с ним 180-116=64, второй угол при основании тоже = 64, а угол при вершине=180-64-64=52
   2 случай: если внешний угол при вершине, тогда смежный с ним=64, а сумма углов при основании=116. Тк углы при основании равнобедренного треугольника равны, то каждый будет равен 116:2=58.
2) 1 случай: аналогично. Углы при основании=180-100=80, угол при вершине=180-80-80=20
  2 случай: угол при вершине=80. Сумма углов при основании=100. Каждый угол при основании =100:2=50

Пусть ABCD - данный параллелограмм, а A', B', C', D' - точки, в которые переходят A, B, C, D. Т.к. при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную ей плоскость (или в себя), то плоскость α'В'С'D' параллельна плоскости αВCD.Т. к. при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то AA' || BB' || CC' || DD' и AA' = BB' = CC' = DD'.Так что в четырехугольнике AA'D'D противолежащие стороны параллельны и равны, а, значит, AA'D'D — параллелограмм. Тогда A'D' = AD и A'D' || AD.Аналогично A'B' = AB и A'B' || AB; C'D' = CD и C'D' || CD; B'C' = BC и B'C' || BC.Т. к. две прямые, параллельные третьей, параллельны, то получаем, что A'D' || B'C', A'B' || C'D'.А, значит, A'B'C'D' — параллелограмм, равный параллелограмму ABCD (т.к. соответствующие стороны равны). Что и требовалось доказать.