2окружности касаются внутренним образом в точке к, причем меньшая проходит через центр большей. хорда мn большей окружности касается меньшей в точке с.хорды км и кn пересекают меньшую окружность в точках а и в соответственно, а отрезки кс и ав пересекаются в точке l.найти мn, если lb: lа как 2: 3, а радиус малой окр. равен корень из 23

А вот это ничего задачка :) жаль, что в праздники.
Прежде, чем начать, я выражаю благодарность Hrisula за предоставленный отличный рисунок к задаче.
1) Сразу надо понять, что AB II MN. Причем - еще до того, как используется, что MN - касательная к окружности (ABK) (я буду обозначать окружности в тексте тремя точками в скобках).
В самом деле, в точке K у окружностей есть общая касательная. Пусть это прямая KP, где Р - точка пересечения касательных MN и KP (то есть P лежит на продолжении MN)
∠NKP = ∠NMK; (оба измеряются половиной дуги KN окружности (MNK))
∠BAK = ∠BKP; ( оба измеряются половиной дуги BK окружности (ABK));
то есть ∠NMK = ∠BAK; что означает AB II MN.
2) Из этого следует подобие треугольников ABK и MNK. Но поскольку радиус описанной окружности у треугольника ABK в 2 раза меньше, то и стороны в 2 раза меньше, что означает, что AB - средняя линия треугольника MNK. Но это еще не всё :) - это еще и означает, что CK делится прямой AB пополам, то есть CL = LK;
(Любой, кто знаком с гомотетией, эти два пункта может доказать моментально - тут просто гомотетия с центром в точке K и коэффициентом 2. Отсюда и параллельность, и средняя линия.)
3) Теперь самое время вспомнить, что MN - касательная.
Обе касательные СP и KP к окружности (ABK) образуют одинаковые углы с хордой CK.
То есть ∠NCK = ∠PKC;
но ∠PKC = ∠NKP + ∠NKC;
∠PCK = ∠NMK +∠CKM;
если еще раз вспомнить, что ∠NKP = ∠NMK;
то ∠NKC = ∠CKM;
получилось, что CK = биссектриса угла AKB;
это означает, что AK/BK = AL/BL = 3/2; (разумеется, в подобном треугольнику ABK треугольнике MNK тоже такое же соотношение сторон)
4) Теперь надо "сложить" полученные условия для вписанного четырехугольника ACBK - что AL/BL = 3/2 = AK/BK; и CL = KL. Также AC = CВ, но это не понадобится (хотя в принципе и это можно было бы использовать). Главная задача - найти угол AKB. Полученных связей должно хватить.
Для краткости и понятности формул я теперь обозначу
γ = ∠AKB; a = BK; b = AK; l = KL = CL;
Пара треугольников KLB и AKC; имеет равные углы, так как KL - биссектриса угла AKB; и ∠ABK = ∠ACK; так как это вписанные углы, опирающиеся на дугу AK;
Поэтому KL/KB = KA/CK;
или 2*l^2 = ab;
Учитывая, что b = a*3/2; получается l = a*√3/2; (синус 60° тут возник случайно).
Если записать площадь треугольника ABK, как
ab*sin(γ)/2 = al*sin(γ/2)/2 + bl*sin(γ/2)/2; то
l = 2ab*cos(γ/2)/(a + b);
или, если подставить ранее найденные соотношения b = a*3/2; l = a*√3/2
a*√3/2 = 2a*(3a/2)*cos(γ/2)/(a + 3*a/2);
после сокращений получается значение косинуса половины угла AKB, откуда можно найти синус всего угла.
cos(γ/2) = 5√3/12; sin(γ/2) = √69/12; sin(γ) = 5√23/24;
(угол получился близким к прямому, но все-таки меньше :) примерно 87,6°)
5) Теперь, когда известен синус угла MKN; остается только применить теорему синусов. Радиус окружности (MKN) равен 2√23; поэтому
MN = 2*(2√23)*(5√23/24) = 5*23/6 = 115/6 = 19,1(6);
ну вот как-то так. Проверяйте...
(Между прочим, диаметр большей окружности 4√23 примерно равен 19,1833261)

1.

М - середина АВ, значит МВ = АВ/2

Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4

К - середина ВС, значит КС = ВС/2

Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4

N - середина АС, значит NA = АС/2

G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4

По условию

PB + EC + GA = 12

АВ/4 + ВС/4 + АС/4 = 12

1/4 · (АВ + ВС + АС) = 12

АВ + ВС + АС = 12 · 4 = 48 (см)

2.

Из решения первой задачи следует, что

АР = 3/4 АВ

ВЕ = 3/4 ВС

CG = 3/4 AC

По условию

AP + BE + CG = 108

3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108

3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108

АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)

29,6 км/год

Объяснение:

Час шляху дорівнюватиме часу вниз за течією + час вгору за течією. Тобто: 24 / (Vпароплава + 4) +  24 / (Vпароплава - 4) = 2,5 год.

Приводимо до спільного знаменника і отримуємо:

(24(Vпароплава + 4) + 24(Vпароплава - 4)) / (Vпароплава + 4)(Vпароплава - 4) = 2,5

Виносимо 24 за дужки, і перемножуємо праву і ліву частину рівняння за правилом пропорції. У нас виходить квадратне рівняння. Вирішуємо його, і отримуємо два Vпароплава. Одне негативне - ця відповідь не підходить. А друге 29.6 км/год.

Вот и ответ.