Вправильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 10 и 8 см , а высота корень из 3. найдите площадь полной поверхности.

ABCDA₁B₁C₁D₁ - правильная четырехугольная усеченная пирамида. основания  - квадраты, боковые грани - равнобедренные трапеции
Sпол.пов=Sбок.пов.+Sверх.осн+Sнижн. осн
Sбок.пов=((a+b)*h/2)*4. Sбок.пов=(a+b)*h*2
a=8 см, b=10 см, h -высота боковой грани

AA₁C₁C- диагональное сечение - равнобедренная трапеция.

 АС=√(10²+10²). АС=10√2 см -диагональ нижнего основания
А₁С₁=√(8²+8²)  А₁С₁=8√2 см -диагональ верхнего основания

ОО₁=√3 см - высота усеченной пирамиды
А₁Р=С₁К=ОО₁. РК=8√2
АР=КС=(10√2-8√2)/2=√2
ΔАРА₁=ΔСРС₁.
по теореме Пифагора: АА₁²=(√2)²+(√3)².  АА₁²=5

A₁M_|_AD, C₁N_|_AD. A₁M=C₁N
ΔAMA₁=ΔCNC₁. AM=CN=(10-8)/2. AM=CN=1 см
по теореме Пифагора: 5²=1²+A₁M². A₁M=2 см

Sбок.пов=(8+10)*2*2=72
Sверх. осн=8*8=64
Sнижн.осн=10*10=100
Sполн.пов=72+64+100
Sполн.пов=236 см²

1) Около лю­бо­го пра­виль­но­го мно­го­уголь­ни­ка можно опи­сать не более одной окруж­но­сти - верно.

2) Центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми, рав­ны­ми 3, 4, 5, на­хо­дит­ся на сто­ро­не этого тре­уголь­ни­ка - верно.
Это - прямоугольный треугольник (египетский), а в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

3) Цен­тром окруж­но­сти, опи­сан­ной около квад­ра­та, яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей - верно.
Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит расстояния от точки пересечения диагоналей до вершин одинаковы.

4) Около лю­бо­го ромба можно опи­сать окруж­ность - неверно.
Около четырехугольника можно описать окружность в том случае, если сумма противолежащих углов 180°. А в ромбе в общем случае, это условие не выполняется, а если выполняется, то этот ромб - квадрат.

Возьмем равнобедренный треугольник ABC и построим  высоты AH, BF, CD

Рассмотрим полученные треугольники ABF и ACD. Сторонf AB=AC по условию задачи, так же как и углы BAF=CAD. Так как высота в равнобедренном треугольнике является и биссектрисой то углы ABF=ACD= 600/2=300

Первый признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Значит треугольники ABF и ACD равны значит и сторона AH = CD (являющиеся высотами треугольника ABC)

также доказывается равенство высоты BF

(как то так)