Сторони трикутнка 13, 14, 15 см.знайти: довжину від площини трикутника до центра кулі яка дотикається до всіх сторін трикутника.радіус 5 см

для решения нужна площадь треугольника. 

её можно тупо сосчитать по формуле герона, а можно и сообразить, что треугольник "составлен" из двух пифагоровых треугольников со сторонами (5,12,13) и (9,12,15), так, что катет 12 у них общий, а катеты 5 и 9 вместе составляют сторону 14 исходного треугольника.

то есть высота к стороне 14 равна 12.

итак, площадь треугольника s = 14*12/2 = 84;

полупериметр равен (13 + 14 + 15)/2 = 21;

поэтому радиус вписанной окружности равен r = 84/21 = 4;

сечение шара плоскостью треугольника как раз и дает нам круг, ограниченный вписанной окружностью. при этом радиус этой окружности r, расстояние d от центра до плоскости сечения (до плоскости треугольника) и радиус шара r связаны теоремой пифагора.

r^2 = r^2 + d^2;  

отсюда d = 3; (тут пифагорова тройка 3,4,5)

обозначения. для внешних касательных точки касания а и в ("сверху"), а1 и в1 ("снизу"), внутренняя касательная пересекает внешние в точках к (c прямой ав) и k1 (с прямой а1в1). с - "верхняя" точка касания внутренней касательной, с1 - "нижняя".

получается вот что - одной окружности (ну, пусть слева на чертеже) касательные касаются в точках а, а1(это внешние) и с1 (это - внутренняя, как бы ниже линии центров), а другой (которая справа) -   в точках в, в1(внешние) и с (внутренняя, выше линии центров). точка к1 лежит ниже линии центров (и "слева"), и к1а1 = к1с1; точка к лежит выше линии центров (и "справа"), кв = кс.

сс1 = кс1 - кс = ка - кс = ав - кв - кс = ав - 2*кс.

сс1 = к1с - к1с1 = к1в1 - к1с1 = а1в1 - к1с1 - а1к1 = а1в1 - 2*к1с1;

но ав = а1в1, поэтому к1с1 = кс;

ав = кс1 + кв = кк1 - к1с1 + кс = кк1, ч.т.д. 

1) объём пирамиды равен одной трети площади основания на высоту:

                                      v = s осн* н/3.

2)в основании пирамиды лежит прав. тр-к, а его площаль равна:

          s = a²·√3/4 = 6²·√3/4=9√3.

3)высоту найдём из δ ado-прям.: l dao=45⁰? , тогда тр-к равнобедр. и do=oa  .

  oa- радиус вписанной в δado окружности и равна r= a/√3=6/√3=2√3.

4)√таким образом v= 9√3·2√3/3= 18 (куб.ед).

ответ: 18 куб.ед..