Радиус окружности описанной около прямоугольника равна 5см а стороны прямоугольника относятся как 3: 4.найдите площадь прямоугольника

Диагональ прямоугольника - диаметр описанной окружности - 5*2=10 см;
стороны прямоугольника образуют с диагональю прямоугольный треугольник. По т. Пифагора:
(3х)²+(4х)²=10²
25х²=100
х²=4
х=2;
3*2=6 см - одна стороны прямоугольника;
4*2=8 см - другая сторона прямоугольника;
6*8=48 см² - площадь прямоугольника.

Большая сторона прямоугольника = 4к
Меньшая сторона прямоугольника = 3к
Радиус окружности = 5 см
Рассмотрим прямоугольник треугольник со сторонами 1.5 к, 2 к и гипотенузой 5 см ( Смотрим на четвертинку прямоугольника)
(1.5к)^2+(2k)^2=5^2
2.25k^2+4k^2=25
k^2=4
k=2 =>
Большая сторона прямоугольника = 4*2=8
Меньшая сторона прямоугольника = 3*2=6
=> Площадь равна 8*6=48

ABC - равнобедренный треугольник с основанием AC, боковыми сторонами AB=BC= 16 cм
Около треугольника описана окружность с центром в т. O. Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров ⇒ BE = CE ⇒ BE = BC/2 = 16/2 = 8 (cм)
Расстоянием от боковой стороны треугольника ABC до центра окружности является перпендикуляр OE = 6 cм

В прямоугольном теругольнике BEO:
BE= 8cм - катет
OE= 6cм - катет
BO - гипотенуза

по теореме Пифагора:
BE² + OE² = BO²
8² + 6² = BO²
64 + 36 = BO²
BO² = 100
BO = 10 (cм)

Расстояние от вершины треугольника до центра, описанной около этого треугольника окружности, равно радиусу этой окружности ⇒
BO = R = 10 cм

Радиус  описанной  окружности  равнобедренного  треугольника вычисляется по формуле:

             a²
R= --------------------
        √(4a² - b²)

где R - радиус описанной окружности
а - боковая сторона равнобедренного треугольника
b - основание равнобедренного треугольника

              BC²
R= -----------------------------
       √(4BC² - AC²)

√(4BC² - AC²) = BC² / R

√(4 * 16² - AC²) = 16² / 10
√(4* 256 - AC²) = 256 / 10
√(1024 - AC²) = 25,6
1024 - AC² = 25,6²
1024 - AC² = 655,36
1024 - 655,36 = AC²
AC² = 368,64
AC = √368,64
AC = 19,2 (cм)

BK является высотой, биссектрисой и медианой, проведенной к основанию равнобедренного треугольника ⇒ AK=CK=AC/2 
CK = 19,2 / 2 = 9,6 (cм)

В прямоугольном треугольнике BCK:
BC= 16 см - гипотенуза
CK= 9,6 cм - катет
BK - катет

по теореме Пифагора:
BK² + CK² = BC²
BK² + 9,6² = 16²
BK² + 92,16 = 256
BK² = 256 - 92,16
BK² = 163,84
BK = √163,84
BK = 12,8 (cм)

Радиус основания цилиндра равен 13 см, площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, равна 80 см², расстояние от плоскости сечения до оси цилиндра равно 12 см. Найдите высоту цилиндра

.

ответ:   8 см

Объяснение:

OA = OD = R = 13 см

Проведем ОН⊥AD. ОН лежит в плоскости основания, АВ - перпендикуляр к плоскости основания, значит ОН⊥АВ.

Тогда ОН⊥(АВС),

ОН = 12 см - расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

ΔАОН:  ∠АНО = 90°, по теореме Пифагора

            АН = √(АО² - ОН²) = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 см

ОН - высота равнобедренного треугольника AOD, значит ОН и медиана, ⇒

AD = 2АН = 10 см

ABCD - прямоугольник,

Sabcd = AD · АB = 80

АB = Sabcd : AD = 80 : 10 = 8 см