Стороны треугольника равны 3, 4 и 5. найдите высоту этого треугольника, проведенной к его наименьшей стороны.

Треугольник со сторонами 3/4/5 - прямоугольный треугольник =>
высота треугольника, проведенная к его меньшей стороне равна большему катету, т.е. равна 4

А) По теореме Менелая для треугольника АВС и секущей С1К:
(АС1/С1В)*(ВА1/А1С)*(СК/КА)=1.
Подставим известные значения:    (5/2)*(2/1)*(СК/КА)=1.
Отсюда  СК/КА=1/5. Тогда АК=5СК.АС=АК-СК=4СК.
СК/АС=1/4.  Это ответ.
б) По Менелаю в треугольнике АКС1 и секущей СВ:
(АС/СК)*(КА1/А1С1)*(С1В/ВА)=1, подставив известные значения:
(4/1)*(КА1/А1С1)*(2/7)=1.
(КА1/А1С1)=7/8.
По Менелаю в треугольнике СС1К и секущей АА1:
(КА1/А1С1)*(С1О/ОС)*(СА/АК)=1, подставив известные значения:
(7/8)*(С1О/ОС)*(4/5)=1.
С1О/ОС=40/28=10/7.
Или   СО/ОС1=7/10. Это ответ.
По Менелаю в треугольнике АА1К и секущей СС1:
(КС/СА)*(АО/ОА1)*(А1С1/С1К)=1, подставив известные значения:
(1/4)*(АО/ОА1)*(8/15)=1.
Отсюда  АО/ОА1=15/2. Это ответ.

Известно: биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (в нашем случае-катетам), 
т.е. дано отношение катетов 15:20 = 3:4 
отношение катетов --это тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике и дальше можно решать, используя основное тригонометрическое тождество, а можно составить систему: 
обозначим катеты 3а и 4а (отношение 3:4), гипотенуза, очевидно, = 35, 
требуется найти части: х и (35-х) 
для прямоугольного треугольника известно: 
квадрат катета = произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу  
{ (3а)² = 35*х 
{ (4а)² = 35*(35-х)
выразим из первого уравнения: а² = 35х / 9 
подставим во второе: 16*35х / 9 = 35*(35-х) 
16х / 9 = 35-х 
(16х+9х) / 9 = 35
25х = 7*5*9
х = 63/5 = 126/10 = 12.6 один отрезок
35-12.6 = 22.4 другой отрезок