Окружность, проходящая через вершины a , c и d прямоугольной трапеции abcd с основаниями ad и bc , пересекает меньшую боковую сторону ab в точке p и касается прямой bc . известно, что ad = cd. а) докажите, что cp — биссектриса угла acb . б) в каком отношении прямая dp делит площадь трапеции?

Вот решение этого задания)

1) Проведем высоту из вершины равнобедренного треугольника, по его свойствам она будет медианой, следовательно разделит основания на равные отрезки по 8. В прямоугольном трегольники ABH, по теореме Пифагора следует BH^2=AB^2-AH^2

BH^2=289-64; BH=15, 

S=AC*BH/2

S=15*16/2=120 см^2

2) Диагонали ромба относятся как 4 : 5, а его площадь равна 40 см2. Найдите диагонали ромба. Наверное так..?

d1/d2=4/5, 4d1=5d2, d1=5d2/4, d1=1,25d2

Пусть первая диагональ это x, тогда вторая 1.25x, подставим в формулу площади ромба S=d1*d2/2 

S=x*1.25x/2, 40=1.25x^2/2, решив уравнение получим x=8, значит вторая диагональ равна d2=1.25* 8=10

ответ: 8 см и 10 см

 

чтобы построить сечение, нужно из N провести прямую || AC

(B лежит в одной плоскости с АС)

точки N,A,C объединяет треугольник AMC

построим NP || AC в треугольнике AMC... NC=AP

BNP ---искомая плоскость... BN=BP

осталось построить пересечение с MD

т.к. треугольники NBP, MAC равнобедренные, то их высоты пересекутся в точке О

продолжим прямую BO до пересечения с MD ---точка Е четвертая вершина сечения...

NE=EP, сечение BNEP ---два равнобедренных треугольника с общим основанием...

Sсечения = S(BNP) + S(NEP) = NP*OB/2 + NP*OE/2 = (NP/2)*(OB+OE) = BE*NP/2

рассмотрим треугольник MAC, т.к. NP || AC, MAC и MNP подобны

MN / MC = 2/3 = NP / AC = MO / MH

AC ---диагональ квадрата, по т.Пифагора АС = V2 => NP = АС*2/3 = 2*V2 / 3

MH^2 = 4 - (V2/2)^2 = 4-1/2 = 7/2

MH = V14 / 2

OH = MH/3 = V14 / 6

BO^2 = OH^2 + BH^2 = 14/36 + 1/2 = 8/9

BO = 2V2 / 3

sin(OBH) = OH/OB = (V14 *3) / (6*2V2) = V7 / 4 =>

cos(OBH) = корень(1-(sin(OBH))^2) = корень(1-7/16) = 3/4

sin(MDH) = MH/MD = V14 / 4 =>

cos(MDH) = корень(1-(sin(MDH))^2) = корень(1-14/16) = V2 / 4

sin(BED) = sin(180-(OBH+MDH) = sin(OBH+MDH) =

sin(OBH)*cos(MDH) + cos(OBH)*sin(MDH) = V14 / 16 + 3V14 /16 = V14 / 4

по т.синусов BE / sin(MDH) = BD / sin(BED) и т.к. sin(MDH) = V14 / 4 = sin(BED), то 

BE=BD=V2

Sсечения = V2*2*V2 / 6 = 4/6 = 2/3

(надеюсь, я нигде не ошиблась...)