Впрямоугольном треугольнике abc (угол c = 90 градусов) биссектрисы cd и ae пересекаются в точке o. угол aoc =105 градусов. найдите острые углы треугольника abc.

угол OCA=45

CAO=30 ,т.к. в треуг. сумма углов = 180. Угол А=60, угол В = 30,т.к. в треуг. сумма углов = 180.

ответ:30 и 60

Прямая АЕ делит площадь параллелограмма ABCD в отношении 3:13.

Объяснение:

Треугольники BEF и AFD подобны по двум углам  (∠AFD и ∠BFE - вертикальные, ∠BEF и ∠EAD - внутренние накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей АЕ. Коэффициент подобия

k = 3/8.

Следовательно, ВЕ/AD = 3/8 (соответственные стороны).

Площади треугольников АВЕ и ABD относятся как их основания (эти треугольники имеют одну высоту АН).

Итак, Sabe/Sabd = 3/8. Но Sabd = (1/2)*Sabcd, так как диагональ BD делит площадь параллелограмма пополам (свойство). Тогда Sabe/Sabсd = Sabe/(2*Sabd) = 3/16.

Sabe = (3/16)*Sabсd  =>  Saeсd = 1 - 3/16 = (13/16)*Sabcd и  

Sabe/Saесd = (3/16):(13/16) = 3/13.

Прямая АЕ делит площадь параллелограмма ABCD в отношении 3:13.

Итак, больший катет равен Х (почти равен гипотенузе), гипотенуза (Х+1), второй катет равен Y.
тогда имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными - катетами:
X+(X+1)+Y=30 (1)  и  X²+Y²=(X+1)² (2)
Из (1): Y=29-2X. Подставим это выражение в (2):
X²+29²-116X+4X²=X²+2X+1, отсюда
2Х²-59Х+420=0 - квадратное уравнение с дискриминантом
D=√(59²-8*420)=11.
Тогда Х1=17,5 (не удовлетворяет условию Y=29-2X) и
Х2=12.
ответ: больший катет равен 12.

Проверка: катет=12, второй катет =(29-2*12)=5 и гипотенуза =13.
И по Пифагору: 12²+5²=13².