На сторонах ac и ab треугольника abc отмечены соответственно точки b1 и c1. известно, что ab1=4см, b1c=17см, ac1=7см, cb1=5см. докажите, что треугольники авс и ab1c1 подобны

Рассмотрим отношения сторон треугольников ABC и
AB1C1 , прилежащих к общему углу A:
AB/AB1=5+7/3=12/3=4
AC/AC1=3+17/5=20/5=4
Отсюда
AB/AB1=AC/AC1
Следовательно, две стороны треугольника ABC пропорциональны
соответствующим сторонам треугольника AB1C1 , а угол A между ними
общий. Значит, треугольники ABC и AB1C1 подобны.

1. Если соединить центр вписанной окружности с вершинами, то треугольник "разобьется" на три, и в каждом роль высоты будет играть радиус в точку касания. Отсюда сразу следует нужная формула S = pr;  p - полупериметр. Полезно запомнить её именно в этом виде. Важно и то, что такая формула справедлива не только для треугольника, но и для любого выпуклого многоугольника, в который можно вписать окружность.
2. Высота к стороне a равна b*sin(C), откуда S = a*b*sin(C)/2; при этом по теореме синусов c = 2*R*sin(C); или sin(C) = c/(2*R); откуда S = a*b*c/4R чтд.

Ромб ABCD перегнули по его большей диагональю BD так, что плоскости ABD и CBD оказались перпендикулярными, а расстояние между точками A и C стала равна 4√2 см. Найдите длину сторона ромба, если тупой угол ромба равен 120°

Объяснение:

Пусть точка пересечения диагоналей О. По свойству диагоналей ромба АО=ОС и ∠ВСО=∠DСО=120°:2=60°

1)Т.к. плоскости ABD и CBD оказались перпендикулярными , то ∠АОС=90°

ΔАОС-прямоугольный , равнобедренный , АО=ОС=х ,АС=4√2 см.

По т. Пифагора х²+х²=(4√2)²  ,  2х²=16*2  ,х=4  , АО=ОС=4 см.

2) ΔВОС -прямоугольный (диагонали ромба взаимно-перпендикулярны). ∠ОВС=90°-60°=30°. По свойству угла в 30° , ВС=8см. Сторона ромба 8 см.