Найдите площадь боковой и полной поверхности правильной призмы с основанием abc, если диагональ ее боковой грани, равная 18 см, составляет с плоскостью основания угол в 60 градусов.

В основании правильной треугольной призмы равносторонний треугольниу

П`ятикутник - це багатокутник, у якого п`ять кутів. П`ятикутники бувають правильними, неправильними, опуклими, увігнутими, зірчастими. Не існу диного обчислення площі п`ятикутників, але легко знайти площу правильного п`ятикутника. Ця стаття описує два основних обчислення площі правильного п`ятикутника.

Кроки

Частина 1 з 3: Основи

1

Правильні і неправильні п`ятикутники. Правильний п`ятикутник - це п`ятикутник, у якого всі сторони рівними в іншому випадку п`ятикутник називається неправильним.

Правильний п`ятикутник завжди буде опуклим (див. Нижче). Неправильний п`ятикутник може бути і опуклим, і увігнутим.

2

Опуклі і увігнуті п`ятикутники. Опуклий п`ятикутник не має вершин, спрямованих всередину фігури (іншими словами, не має внутрішніх кутів більше 180 градусів). Увігнутий п`ятикутник має вершину, спрямовану всередину фігури (іншими словами, має внутрішній кут більше 180 градусів).

3

Периметр п`ятикутника. Як і у випадку інших геометричних фігур, знайти периметр п`ятикутника легко складіть довжини всіх п`яти сторін.

4

Апофема правильного п`ятикутника. Апофема - відрізок, що з`єднує центр п`ятикутника і середину будь-який з його сторін.

5

Основні тригонометричні функції. Їх треба знати, оскільки площа п`ятикутника можна знайти за до його розбиття на прямокутні трикутники. Існують три основні тригонометричних функції: sin кута = протилежний катет / гіпотенуза- cos кута = прилежащий катет / гіпотенуза- tg кута = протилежний катет / прилежащий катет.

Частина 2 з 3: Обчислення площі п`ятикутника: геометрія

1

Розбийте п`ятикутник на п`ять рівнобедрених трикутників. Потім у кожному трикутнику опустіть висоту (з центру п`ятикутника). Ви отримаєте десять прямокутних трикутників. Запам`ятайте: кожен кут п`ятикутника дорівнює 108 градусам.

Наприклад, знайдіть площа правильного п`ятикутника зі стороною 6 см. Для початку розбийте його так, як показано на малюнку.

2

Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника. Для цього розгляньте один з прямокутних трикутників.

У наведеному прикладі сторона п`ятикутника дорівнює 6 см. Отже, один катет прямокутного трикутника дорівнює 3 см (оскільки висота ділить сторону п`ятикутника навпіл). За до тригонометричних функцій можна обчислити інші сторони. Обчислення показані на малюнку.

3

Обчисліть площу прямокутного трикутника. Площа прямокутного трикутника обчислюється за формулою: А1 = ab / 2.

У наведеному вище прикладі підставте знайдені значення в цю формулу. Обчислення показані на малюнку.

4

Знайдіть площу п`ятикутника. Нагадаємо, що ви розбили п`ятикутник на десять прямокутних трикутників. Таким чином, загальна площа п`ятикутника в десять разів більше площі одного прямокутного трикутника: А = 10 * А1.

У наведеному вище прикладі площа п`ятикутника обчислюється таким чином: А = 10 * А1 = 10 * 3,0321 = 30,3210.

Частина 3 з 3: Обчислення площі п`ятикутника: формула

1

Формула для обчислення площі будь-якого правильного багатокутника: A = Pa / 2, де Р - периметр багатокутника, а - апофема багатокутника.

Наприклад, дано правильний п`ятикутник зі стороною 6 см. Знайдіть його площу.

2

Знайдіть периметр п`ятикутника. Для цього складіть довжини всіх його сторін.

У наведеному вище прикладі: Р = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30.

3

Знайдіть апофему п`ятикутника. Якщо ви знаєте сторону багатокутника, то його апофема обчислюється за формулою: а = s / 2tan (180 / n), де s - сторона багатокутника, n - кількість сторін багатокутника.

У наведеному вище прикладі обчислення апофеми показано на малюнку.

4

Обчисліть площу п`ятикутника. Для цього використовуйте основну формулу для обчислення площі п`ятикутника.

У наведеному вище прикладі: А = (30 * 2,0214) / 2 = 30,3210.

Поради

Якщо можливо, обчисліть площа п`ятикутника, використовуючи обидва описаних методу. Потім порівняйте результати, щоб підтвердити правильність відповіді.

Решение
Площадь боковой поверхности призмы равна произведению ее высоты на периметр основания. 
Сумма углов при одной стороне параллелограмма равна 180°
Следовательно, < АВС = 180° - 30° = 150°
Пусть АВ = 4см
ВС = 4√3 см
Найдем по теореме  косинусов диагональ основания АС.
АС² = АВ² +  ВС²  - 2*АВ*ВС* cos (150°) 
косинус тупого угла - число отрицательное. 
АС² = 16 + 48 + [32√3*(√3)]/2=112
АС = √112 = 4√7
Высота призмы 
СС₁ = АС / ctg(60°)=(4√7) / 1/√3
CC₁ = 4√21
Площадь боковой поверхности данной призмы
S = H*P = 4√21*2(4+4√3) = 32√21*(1+√3) см²  
ответ:  32√21*(1+√3) см²