Если точка с делит отрезок с вершинами а (-4) и в (9) в отношении 3: 1, то найдите координаты точки с

Если точка С делит отрезок АВ в отношении 1:3, то она делит его на 4 части. Значит одна эта часть равна (|9|+|-4|)/4=3,25. Чтобы найти расстояние от точки А до точки С, нужно 3,25*3=9,75 - это и будет координата точки С.

Трапеция ABCD:  AD║BC;  AD=12;  BC=8; AB=13; CD=15

1) Провести в трапеции высоты BK⊥AD;  CM⊥AD
Пусть AK=x. Тогда MD = AD - BC - AK = 12-8-x = 4-x

ΔABK прямоугольный : ∠AKB = 90°. Теорема Пифагора
h² = BK² = AB² - AK² = 13² - x²
ΔDCM прямоугольный : ∠DMC = 90°. Теорема Пифагора
h² = CM² = CD² - MD² = 15² - (4-x)²
⇒   13² - x² = 15² - (4-x)²
169 - x² = 225 - 16 - x² + 8x
-56 = 8x   Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то трапеция не может иметь вид 1)

2) Провести в трапеции высоты BK⊥AD;  CM⊥AD
Пусть AK=x. Тогда MD = AD - BC + AK = 12-8+x = 4+x

ΔABK прямоугольный : ∠AKB = 90°. Теорема Пифагора
h² = BK² = AB² - AK² = 13² - x²
ΔDCM прямоугольный : ∠DMC = 90°. Теорема Пифагора
h² = CM² = CD² - MD² = 15² - (4+x)²
⇒   13² - x² = 15² - (4+x)²
169 - x² = 225 - 16 - x² - 8x
8x  = 40;   x = 5
h² = 13² - x² = 169 - 25 = 144;   h = 12

Площадь трапеции
S = (AD + BC)*h/2 = (12+8)*12/2 = 120  кв. ед.

Построение: возьмем точку O на прямой, которая точно не лежит на перпендикуляре (это можно сделать на глаз без измерений), проведем окружность с центром в точке O и радиусом OP, где P – данная точка. Эта окружность пересекает прямую в двух точках A и B. Проведем окружности с центром с точке A и радиусом AP и с центром в точке B и радиусом AP. Последняя окружность пересекает первую в некоторой точке Q, прямая PQ – искомая.

Доказательство:
Равнобедренные треугольники APO и BQO равны по трём сторонам, тогда отмеченные на чертеже углы равны.
Пусть ∠A = α, тогда ∠AOP = ∠BOQ = 180° - 2α; ∠POQ = β = 180° - 2∠AOP = 4α - 180°. Отсюда ∠OPQ = (180° - β)/2 = 180° - 2α.
Углы ∠AOP и ∠OPQ оказались равны, а так как это накрест лежащие углы при прямых AB и PQ и секущей PO, то AB || PQ, что и требовалось доказать.