Параллельные прямые mk и te пересекают стороны угла mak так, что точка t делит отрезок на отрезки at=a и tm=b, а точка e делит отрезок ak на отрезки ae и ek=c. в таком случае длина отрезка равна? не могу даже понять точный чертёж, с чертежом, а то странная и можно с объяснением! не знаю с чего тут начать!

Рассмотрим подобные треугольники ATE и AMK. Обозначим AE=x. Тогда из подобия следует, что AT/AM = AE/AK, то есть a/(a+b) = x/(x+c) => a(x+c)=x(a+b) => ac = xb => x = ac/b.

По второму признаку равенства треугольников: "Если сторона и два прилежащих к ней угла в одном треугольнике равны стороне и двум прилежащим к ней углам во втором треугольнике - то такие треугольники равны". 
Нам дано, что BM - биссектриса (на рисунке) , значит угол ABM равен углу CBM по определению биссектрисы 
Она же есть высота. По определению высоты BM перпендикулярна AC, значит углы AMB и CMB равны между собой (каждый по 90 градусов) 
А также сторона BM - общая для треугольников ABM и CBM, значит эти два треугольника равны по 2-му признаку равенства треугольников. 
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны (и наоборот) . Прямые углы AMB и CMB равны, значит и стороны, лежащие против них AB и CB. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. 
Утверждение доказано. 

В условии опечатка: в пункте б) надо найти отношение площадей треугольника ВОС и НЕвыпуклого пятиугольника AOBCD.

а) ∠ОВС = ∠ОСВ по условию, значит ΔОВС равнобедренный с основанием ВС, ОВ = ОС.

АС = CD по условию, значит ΔACD равнобедренный с основанием AD, ∠CAD = ∠CDA.

О - середина АС, значит

ОВ = ОС = ОА.

Итак, AD = 2BC (по условию), AC = 2OC и  CD = 2OB, тогда

ΔADC подобен ΔСОВ по трем пропорциональным сторонам. Значит

∠ВСО = ∠DAC, а эти углы накрест лежащие при пересечении прямых AD и ВС секущей АС, значит BC║AD.

б) Коэффициент подобия треугольников ВОС и DAC:

k = 1/2

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Sboc : Sdac = k² = 1/4

Т.е. Sdac = 4Sboc, тогда площадь пятиугольника AOBCD:

Saobcd = Sboc + Sdac = 5Sboc,

Sboc : Saobcd = 1 : 5