Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 5 см і 6 см, а діагональ — √65 см. знайти площу повної поверхні паралелепіпеда.

АВСDА1В1С1D1 прямоугольный параллелепипед, ВD1 - его диагональ, АВ = 5см, ВС = 6 см, ВD1 = корень 65 см.
Найдем по теореме Пифагора диагональ основания параллелепипеда.
BD= 5^2+6^2=25+36= корень 61
Найдем высоту параллелепипеда 
ВВ1 = корень 65-61=корень 4 =2
S =(5*6+5*2+6*2)*2=(30+10+12)*2=52*2=104см^2

Треугольник АВс, М - точка касания на АВ, К - точка касания на ВС, Н- точка касания на АС, АМ=14. ВМ=12

АМ=АН =14 как касательные ко  кружности, проведенные из одной точки,

ВМ=ВК=12, 

АМ+АН+ВМ+ВК+СК+СН=периметр=84

14+14+12+12+СК+СН=84

84-52 = СК+СН, СК=СН=16,

АВ=26, ВС=28 АС=30

Площадь = корень (p x (p-a) x (p-b)x (p-c))?где р -полупериметр, остальное стороны

полупериметр = 84/2=42

Площадь= корень(42 х (42-26) х (42 х 28) х (42-30)) = корень (42 х 16 х 14 х 12) = 336 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Можно по т.Пифагора найти половину второй диагонали из одного из прямоугольных треугольников, на которые диагонали при пересечении делят ромб, и затем умножить на 2. 
Как правило, именно такой решения дается к подобной задаче. 
Есть другой решения этой задачи. 
Вспомним, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. 
                      Т.е. d²+D²=2•(a²+b²)
Ромб - параллелограмм с равными сторонами. 
                  Тогда d²+D²=4•a²⇒
12²+D²=4•100 ⇒
D²=400-144=256
                  D=√256=16 см