Основание ac равнобедренного треугольника abc равно 12. окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания ac в его середине. найдите радиус окружности, вписанной в треугольник abc.

Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе. Окружность радиуса 8 - вневписанная, касается сторон двух углов - А и С,  ее центр лежит на пересечении биссектрис  этих углов, смежных с углами А и С ∆ АВС соответственно,⇒ 
СО - биссектриса и делит угол НСК пополам. .
Центр окружности, вписанной в треугольник АВС, лежит в точке пересечения биссектрис. ВН и СО₁- биссектрисы. 
СО₁  делит  угол ВСН  пополам. 
АСК - развернутый угол и равен 180º
Сумма половин углов АСН и ОСН равна половине развернутого угла. 
Угол ОСО₁=180°:2=90°⇒
∆ ОСО₁ - прямоугольный с прямым углом С.
 АН - высота и медиана равнобедренного треугольника АВС, следовательно, делит основание АС на два равных отрезка:
СН=АН=6.
СН ⊥ АН⇒ является высотой  треугольника ОСО₁. 

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой;⇒

СН²=ОН•HO₁

36=8 HO₁

HO₁=36/8=4,5 (ед. длины)

Пирамида НАВСД: Н-вершина, АВСД- основание (АВ=СД=6, ВС=АД=8),
высота пирамиды НО=12
Площадь основания So=6*8=48
Значит объем V=So*НО/3=48*12/3=192
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам
Значит диагональ АС=ВД=√6²+8²=√100=10
АО=ВО=СО=ДО=10/2=5
Из прямоугольного треугольника АНО найдем АН=√12²+5²=√169=13.
Значит АН=ВН=СН=ДН=13
Площадь треугольных граней можно найти по ф.Герона:
1) грани АВН и СДН: полупериметр р=(13+13+6)/2=16
Sавн=Sсдн=√16*(16-13)(16-13)(16-6)=12√10
2) грани ВСН и АДН: полупериметр р=(13+13+8)/2=17
Sвсн=Sадн=√17*(17-13)(17-13)(17-8)=12√17
Получается площадь бок. поверхности
Sбок=2Sавн+2Sвсн=2*12√10+2*12√17=24(√10+√17)
Sполн= Sбок+Sо=24(√10+√17)+48=24(√10+√17+2)

Построим прямоугольный треугольник АВС (угол А= 90 градусов, угол С=60 градусов).

 Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Зная это найдем угол В:

В=180-(А+С)=180-(90+60)=30 градусов.

Так как против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол то меньшим катетом треугольника АВС будет сторона АС (В<С<А)

Катет, лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы.

Пусть катет АС=х  см. Тогда гипотенуза ВС=2х см. Получаем уравнение:

х+2х=21

3х=21

х=21/3

х=7

Катет АС=7 см.

Гипотенуза ВС=2*7=14 см.