Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам относятся как √2: 1. найти углы треугольника.

АВС - прямоугольный тр-ник, ∠С=90°, АК и ВМ - медианы, АК:ВМ=√2:1.
Пусть СМ=х, СК=у, тогда АС=2х, ВС=2у.
В тр-ке АСК АК²=АС²+СК²
2=4х²+у².
В тр-ке ВСМ ВМ²=ВС²+СМ²,
1=4у²+х² ⇒ х²=1-4у², подставим это в уравнение выше:
2=4(1-4у²)+у²,
2=4-16у²+у²,
15у²=2,
у²=2/15, х²=1-8/15=7/15,
АС=2х=√(28/15), ВС=2у=√(8/15).
tgA=ВС/АС=√(8/28)=√(2/7).
∠А=arctg√(2/7)≈28°,
∠B=∠C-∠A=90-28≈62°.
ответ: углы треугольника АВС равны 28°, 62° и 90° соответственно.

Не любая
, а биссектриса к основанию ( а не к боковой стороне) совпадает с высотой и медианой.
 Извините, не прочитал, что в равностороннем. Для равнобедренного рассуждение такое:
Это вытекает из того, что биссектриса делит треугольник на два равных ( по первому признаку, т.е. по двум сторонам и углу между ними). В этих треугольниках напротив равных углов -равные стороны: отрезки на которые биссектриса делит основание. Значит она медиана. Два угла с вершиной на середине основания тоже равны. А так как они смежные т их сумма равна 180 градусам, то и они равны 90 градусам. Значит биссектриса совпадает с высотой
В равностороннем - то же рассуждение для любой стороны.
.

Пирамида имеет в основании квадрат или правильный треугольник?

1. поверхность грани 96/4=24  длина стороны основания 24/4=6
апофема равна высоте к стороне основания, апофему обозначим а

0,5*6*а=24    а=24/3=8

2. поверхность 96/3=32   сторона основания 24/3=8
0,5*8*а=32   а=32/4=8

видим равенство апофем, более детально -
пусть n боковых граней, s = 96/n   сторона основания 24/n
0.5*24/n*a=96/n    12a=96   a=8

видим, что можно дать другие числа, а не 96 и 24 и  посчитать апофему, она не будет зависеть от числа сторон правильной пирамиды, а только от конкретных значений площади боковых граней и периметра основания.