25 на медиане bd треугольника abc отмечена точка m так, что bm: md=3: 2. прямая am пересекает сторону bc в точке e. в каком отношении точка e делит сторону bc, считая от вершины b?

Пользуемся тем, что отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению оснований. Поэтому
Т.к. S(ABM)/S(AMD)=BM/MD=3/2, то S(ABM)=3x, S(AMD)=2x.
Т.к. S(AMD)/S(DMC)=AD/DC=1, то S(AMD)=S(DMC)=2x.
Обозначим S(MBE)=y, S(MEC)=z.
S(ABE)=S(ABM)+S(MBE)=3x+y
S(ACE)=S(AMD)+S(DMC)+S(MEC)=2x+2x+z=4x+z
Т.к. S(ABE)/S(ACE)=BE/EC=S(MBE)/S(MEC), то получаем
(3x+y)/(4x+z)=y/z, откуда 3xz+yz=4xy+yz, т.е. 3z=4y. Итак,
BE/EC=S(MBE)/S(MEC)=y/z=3/4.

Проведите ДК паралл. АЕ.. (К- на стороне ВС)
ВМ:МД=3:2     тогда ВЕ:ЕК=3:2
АД:ДС=1:1(или 2:2, как больше нравится)   тогда ЕК:КС=2:2

отсюда ВЕ:ЕС=3:4
все

Чертёж прилагается.
Итак, по этому чертежу: большее основание DC = 32 см. Меньшее AB = 20 см. Меньшая сторона - та, что прилегает к прямым углам трапеции. Отрезок BE перпендикулярен DC и параллелен меньшей стороне трапеции AD, а следовательно, равен ей. AD = BE. То есть, мы получаем прямоугольный треугольник BCE, в котором нам известна длина гипотенузы BC = 15 см. Длину меньшего катета EC находим: DC - AB = 32 - 20 = 12 (см).
Тогда, по теореме Пифагора (BE я обозначила как x):



(см).
ответ: длина меньшей стороны прямоугольной трапеции ABCD равна 9 см.

Не скажу, что это доказательство в виде теоремы. Скорее объяснение, которое легко запомнить и передать затем своими словами.
Окружность называется вписанной в многоугольник, если  стороны многоугольника являются  для неё касательными.
Очевидно, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность.  
Но всякий многоугольник можно разделить на треугольники.
А площадь треугольника можно найти половиной произведения стороны на высоту, проведенную к ней. 
S=0,5*h*a, где а - сторона треугольника, h- высота к ней.
Для многоугольника его площадь - сумма площадей всех треугольников, на которые его можно разделить:
S=S₁+S₂+ S₃ и т.д
Высоты треугольников, на которые можно разделить описанный многоугольник, равны радиусу вписанной окружности, так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания. .
Тогда
S=0,5*a₁*r+0,5*a₂*r+0,5*a₃* r+0,5*a₄*r и т.д.
Вынесем общий множитель 0,5r за скобки⇒
S=r*0,5*(a₁+a₂+a₃+a₄+ an)
Ясно, что 0,5*(a₁+a₂+a₃+a₄+an) - это полупериметр многоугольника Теперь можно площадь многоугольника, в который вписана окружность, записать как 
S=r*p, где r- радиус вписанной в многоугольник окружности, р- полупериметр этого многоугольника. Что и требовалось доказать. 
-----
[email protected]