Видризкы af и de перетынаються у т.b так , що ab=bd; fb=be. довесты , що δabe=δdbf

AF∩DE=B
1. <ABE=<DBF - вертикальные (по построению)
2. AB=BD
    FB=BE по условию
3. ΔABE=ΔDBF по двум сторонам и углу между ними ( 1-й признак равенства треугольников)

Означення. Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі. Теорема (про рівність діагоналей прямокутника).  Доведення. Для доведення використовуємо той факт, що ∆ACD=∆ВCD за першою ознакою рівності трикутників (CD — спільна, АС= BD як протилежні сторони паралелограма, C= D=90). А в рівних трикутниках проти рівних кутів (у цьому випадку прямих кутів) лежать рівні сторони. Отже, ВС=AD, як гіпотенузи рівних прямокутних трикутників, ще й необхідно було довести.
Властивості прямокутника 1. Протилежні сторони рівні й паралельні. 2. Усі кути прямі. 3. Діагоналі рівні, перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться пополам. 4. Кожна діагональ ділить прямокутник на два рівні трикутники. 5. Точка перетину діагоналей є спільною вершиною чотирьох трикутників, які попарно рівні і мають в основах паралельні прямі.

Все грани куба– квадраты, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, B1D1⊥A1C1. B1D1– проекция наклонной B1D. По теореме о трех перпендикулярах B1D ⊥ A1C1
Треугольник A1BC1– равносторонний, Проведем высоту ВК (К– точка пересечения диагоналей) B1D пересекается с КВ в точке М.
Треугольники КВ1М и DBM подобны по двум углам. (см. рисунок) D1B1=DB=√2 KB1=√2/2 По теореме Пифагора B1D=√3 KB=√(3/2) KM:MB=1:2 KM:((√3/2)–KB)=1:2 KB=√6/6 B1M:MD=1:2 B1M:(√3– B1M)=1:2 B1M=√3/3
В треугольнике В1КМ B1K²=B1M²+MK² 1/2=(1/3)+(1/6) Треугольник прямоугольный угол B1MK– прямой
Итак, B1D– перпендикулярна двум пересекающимся прямым А1С1 и BK, значит перпендикулярна плоскости А1ВС1.