Втрапеции abcd с основаниями ad и bc диагонали ac и bd пересекаются в точке o так, что одна из них делится в отношении 1: 2. найдите площадь трапеции если площадь треугольника boc равна 8

<BCO=<DAO U <CBO=<ADO-накрест лежащие⇒
ΔBOC∞ΔDOA⇒
k=OC/OA=1/2
S(BOC)/S(DOA)=k²
8/S(DOA)=1/4
S(DOA)=8*4=32
S(BOC)=1/2*BC*OH1⇒OH1=16/BC
AD=2BC
S(DOA)=1/2*AD*OH2⇒OH2=64/AD=64/2BC=32/BC
H1H2=OH1+OH2=16/BC+32/BC=48/BC
Sтр=(BC+AD)*H1H2/2=1/2*3BC*48/BC=72

ВОС и АОД подобны с коэфф. подобия 2
Значит, все линейные величины разнятся в 2 раза.
т.е. если ВС=а, тогда АД=2а
высота треуг. ВОС=h, тогда высота АОД=2h,  общая высота =h+2h=3h

тогда площадь трап. = (а+2а)/2*3h=3a*3h/2=9(ah/2)   но  ah/2 - это как раз высота ВОС , равная 8.  
Значит площадь трап.= 9*8=72

Поскольку радиусы АО и ВО вписанной окружности перпендикулярны сторона угла, то можно рассматривать два треугольника равных по гипотенузе и двум катетам, равным радиусу вписанной окружности.
∆САО = ∆СВО
<АСО = <ВСО= 84:2 = 42 градус
Тогда <АОС = <ВОС = 90-42 = 48 градусов.
Следовательно <АОВ = <АОС + <ВОС = 48+48 = 96 градусов.

Или сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусов.
В четырехугольнике САОВ:
<С = 84 градуса
<САО = <СВО = 90 градусов
Следовательно:
<АОВ = 360 - 2•90 - 84 = 360-189-84=96 градусов

Диаметры проходят через центр окружности, поэтому при пересечении образуют две пары равных вертикальных углов. 
По условию ∠АОС+∠ВОD=5•(∠BOC+∠AOD)
Окружность содержит 360°
∠АОС+∠ВОD=5•(∠BOC+∠AOD)⇒
5•(∠BOC+∠AOD)+(∠BOC+∠AOD)=6•(∠BOC+∠AOD)
6•(∠BOC+∠AOD)=360°
∠BOC+∠AOD=360°:6=60°
Так как ∠BOC=∠AOD⇒ ∠BOC=60°:2=30°
       * * * 
Так как в решении участвуют пары равных углов, тот же результат будет получен, если для решения возьмем не всю окружность, а её половину, т.е. развернутый угол АОВ, в котором  ∠АОС=5∠ВОС.