Точки k, m, p лежат на одной прямой.mk =8, 7 см; mp=3, 1 см; kp=5, 6 см.какая из точек лежит между двумя другими? решение: вычислим сумму меньших расстояний.mp+kp=3, 1 см+5, 6 см=8, 7 см=mk следовательно, точка p лежит между точками m и k ответ: правильному ответу 10 : 3

ответ: точка P
так как МР+РК=МК

– катеты; AB=c – гипотенуза.

Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна : .

Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: .

Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Определение

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

, .

Определение

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

, .

Определение

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.

, .

Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла

С введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.

Например, из формулы: . Аналогично: .

Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: .

Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника

При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим следующие две формулы: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

Аналогично получаем: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом

Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:

Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника

Доказательство

Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: . Доказано.

Аналогично: .

Рассмотрим следующую важную задачу.

Задача

Даны прямоугольные треугольники . Кроме того, .

Доказать:.

Доказательство

(так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: .

Отсюда получаем: .

.

.

Доказано.

Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.

Основное тригонометрическое тождество

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество: .

Примечание:

Доказательство

, тогда:  (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).

Доказано.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.

Решение примера

Дано:  – прямоугольный (), .

Найти:

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: . Отсюда: . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: .

Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: .

ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.

Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).

Xvatit.com (Источник).

Egesdam.ru (Источник).

Домашнее задание

№ 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.

Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.

Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен .

Связь числа и геометрии. Часть 1. Измерения в геометрии. Свойства фигур

1. Треугольники MFE и MKL являются подобными по свойству "Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны."

∠MKL=∠MEF по условию

∠FME=∠KML совпадают

Следовательно, мы можем говорить, что стороны этих треугольников пропорциональны. Пропорция =2 , т. к.  ME=ML:2 и KL:FE=2

Значит X=FM=KF=2, т.к. KF - это "половина" стороны MK.

2. Предполагаю, что из рисунка ∠K=∠Q, прилежащие к ним стороны KL и KM соответственно пропорциональны QE и QF ("Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны")

KM:QF=QL:QE=3

Отсюда сторона EF=LM:3=10

3. Рассмотрим треугольники KAN, MCE, KBM и EDN. Они подобны по свойству "Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны", т.к. ∠ DEN= ∠CEM=∠KBM=∠KNA и у всех треугольников есть прямой угол.  

Дальше не понимаю, на рисунке CD=3, а CE=2.. Тут какая-то ошибка! Решение должно быть из подобия этих треугольников

Я оставляю основную мысль - доказал, что все 4 треугольника подобны, потом делим соответствующие стороны друг на друга и получаем коэф пропорции. После этого узнаем соотв стороны.

MC пропорционален сторонам AN и BM.

Объяснение: