Треугольник abc-равносторонний со стороной 3√3.найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Три корня из трёх делить на два??

Так как не сказано что он лежит в треугольнике АВС . Треугольник АВС равносторонний так как угол С равен 60 гр, а стороны равны, тогда углы при оснований тоже равны по 60гр. 
Найдем углы ВАМ и МВА. 
Выведем такие соотношения, для  начало я обозначу стороны треугольников как х, а углы ВАМ и МВА  . Тогда 

С одной стороны сторона СМ равна 

с другой стороны   
и по теореме косинусов сторона х равна 

теперь перед началом всех преобразований , сделаем предварительные вычисления 


Теперь для простоты сделаем замену , еще одну 

тогда другие стороны равны 

Тогда сторона х запишется как 


Теперь все это подставим в уравнение где СМ, решим данное уравнение , получим что  
то есть  
тогда СМ равна 

Пусть тр-к АВС, угол А - прямой, гипотенуза ВС=50мм. Ну, во-первых, найдем длину обоих катетов. По Пифагору ВС² = АВ²+АС² или 50² = (4Х)²+(3Х)², откуда Х=10мм. Значит АВ=4Х = 40мм, а АС=3Х = 30мм.
Теперь вспомним, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
То есть имеем подобные треугольники: АВС, КВА и КАС, где точка К - точка пересечения высоты с гипотенузой. Из подобия имеем:АВ/КВ = ВС/ВА. Подставляем значения: 40/КВ = 50/40, откуда КВ = 32мм. А КС тогда равна 18мм
Итак, отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведенной из вершины прямого угла равны 32мм и 18мм.