Найдите углы параллелограмма, если: 1) один из его углов равен 46 градусов 2) сумма двух его углов равна 186 градусов 3) один из его углов на 56 градусов больше другого 4) один из его углов в 3 раза меньше другого 5) два его угла относятся как 5: 7

Противоположные углы параллелограмма равны между собой, соседние углы параллелограмма в сумме равны 180°.

∠A=∠C;   ∠B=∠D;   ∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠A+∠D=180°

1) Острый угол параллелограмма равен 46°

∠A = 46°;     ∠B = ∠D = 180° - 46° = 134°

∠A = ∠C = 46°;    ∠B = ∠D = 134°

2) Так как сумма двух углов 186° больше 180°, значит, это сумма двух тупых углов параллелограмма.

∠B + ∠D = 186°;   ∠B = ∠D = 186° : 2 = 93°

∠A = ∠C = 180° - 93° = 87°

3) Тупой угол параллелограмма на 56° больше острого угла.

∠A = ∠C = 62°;    ∠B = ∠D = 118°

4) Острый угол параллелограмма в 3 раза меньше тупого угла.

∠A = ∠C = 45°;    ∠B = ∠D = 135°

5) Острый угол относится к тупому углу как 5:7

∠A = ∠C = 75°;    ∠B = ∠D = 105°

Здесь два важных свойства.
1) Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
АС:ВС=10:18.
В треугольнике АВ=28, АС=10х, ВС=18х

2) Угол АВС равен половине дуги АС на которую он опирается как вписанный угол.
Угол АСД равен половине дуги АС - угол между касательной и секущей АС.

Треугольники АСД и ВДС подобны по двум углам. Угол при точке Д у них общий.
Из подобия АС:ВС=АД:АС=ДС:ДВ

Вд=18АД/10
Отсюда
АД+28=18 АД/10
8АД/10=28
АД=35

Тогда СД²=35·63
СД=21√5

Такие вот обозначения. CD = z; AD = y; кроме того, из того, что CM - биссектриса, следует, что AC/BC = AM/BM = 5/9; поэтому можно считать AC = 5x; BC = 9x; где x - неизвестная величина.
Из подобия треугольников DCA и DCB (у этих треугольников угол CDA общий, а углы DCA и DBC равны, потому что "измеряются" половиной дуги CA) следует, во-первых, известное соотношение длины касательной.
CD/AD = DB/CD; => CD^2 = AD*BD;
z^2 = y*(y + 28);
во-вторых, AC/AD = BC/CD; то есть
5x/y = 9x/z; откуда z = 9y/5;
Получается y*(9/5)^2 = y + 28; y = 25/2; z = CD = 45/2;

Примечание, можно не читать.
Занятный ответ, причем x "волшебным образом" испарился из уравнений. Похоже, что величины CD = 45/2; и AD = 25/2; постоянны в условии задачи, независимо от длинны сторон AC и BC. То есть вершина C может находится в любой точке окружности Аполония для отрезка AB = 28 и заданной пропорции AC/BC = 5/9; и ответ будет неизменным. Следовательно, есть простой частный случай, с которого можно легко проверить ответ - если выбрать AC перпендикулярным AB.