1)в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 4√2 см. найти катет.

Обозначим один катет через х, второй через у.
32=х^2+у^2
Решениями будут х и у точки, лежащие на окружности радиуса корень из 32

Пускай х - искомый катет, второй тоже будет х.
х²=(4√2)²-х²
2х²=32
х²=16
х=4

По данным координатам вершин определим длины их его сторон.

АВ2 = (Х2 – Х1)2 + (У2 – У1)2 = (1 – (-3))2 + (2 – (-1))2 = 16 + 9 = 25.

АВ = 5 см.

ВС2 = (5 – 1)2 + (-1 – 2)2 = 16 + 9 = 25.

ВС = 5 см.

СД2 = (1 – 5)2 + (-4 – (-1))2 = 16 + 9 = 25.

СД = 5 см.

АД2 = (1 – (-3))2 + (-4 – (-1))2 = 16 + 9 = 25.

АД = 5 см.

Все четыре стороны равны 5 см, четырехугольник квадрат или ромб. Определим длины диагоналей.

АС2 = (5 – (-3))2 + (-1 – (-1))2 = 64 + 0 = 64.

АС = 8 см.

ВД2 = (1 – 1)2 + (-4 – 2)2 = 0 + 36 = 36.

ВД = 6 см.

Диагонали разной длины, следовательно, четырехугольник ромб, что и требовалось доказать.

               геометрия (9 класс)

Найти длину окружности ,описанной около равнобедренного треугольника с основанием 10 см и углом 30° при основании .

Дано: ∠A = ∠C =30 ° , AC=b =10 см

----------------------------

R - ?

решение :  Можно разными но геометрия (9 класс)

→ рационально   использовать  теорема синусов :

a/sin∠A = b /sin∠B = c /sin∠C  = 2R

Угол  против  основания   ∠B =180° - (30°+30°)  = 180° - 60°     120°

AC/sin∠B  =2R  ⇔  R = AC/2sin∠B

R = 10 /2sin(180° - 60°) =10/2sin60° =10/ (2*√3 / 2)  =10 /√3 =( 10√3) /3