Луч ос делит угол аов на два угла один из которых на 90 градусов больше другого. найдите эти углы если угол аов равен 120 градусам

Пусть х=АО
тогда
Ов =х+90

х+х+90=120
2х=120-90
2х=30
х=30÷2
х=15
угол АО=15 градусов
угол ОВ=15+90=105 градусов

Примем коэффициент отношения ВР:АР равным а 

Тогда ВР=а, АР=3а, АВ=4а

РТ║АС, АВ - секущая при них. ⇒

углы при основаниях ∆ АВС и ∆ ВРТ равны как соответственные, угол В общий. ⇒

∆ АВС~∆ ВРТ. ВР:АВ=1/4⇒

РТ:АС=1/4⇒ 

АС=4РТ

АРТС - трапеция. в неё вписана окружность. Вписать окружность в трапецию можно тогда и только тогда, когда сумма её оснований равна сумме боковых сторон. ⇒

РТ+АС=АР+ТС=6а. 

АС=6а-РТ

РТ:(6а-РТ)=1/4⇒

4РТ=6а-РТ

5РТ=6а—

РТ=1,2а

АС=4,8а

Опустим высоту РН. Высота равнобедренной трапеции делит большее основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований, меньший – их полуразности. 

АН =(АС-РТ):2=(4,8а-1,2а):2=1,8а

Из прямоугольного ∆ АРН по т.Пифагора найдем значение а. 

АР²-АН²=РН²

9а²-3,24а²=81⇒ 

5,76а²=81⇒ 

а=√14,0625=3,75

Р=12а=45 см

Пусть M - середина АС.
Тогда ВM - медиана и высота правильного треугольника АВС.
SM - медиана и высота равнобедренного треугольника SAC.
ВM⊥АС, SM⊥AC, ⇒ ∠SMB = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию.

Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит в точке пересечения высоты пирамиды и биссектрисы угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание (в нашем случае  - ∠SMH)

SH - высота пирамиды, МО - биссектриса ∠SMH. О - центр вписанного в пирамиду шара.
ОН = R - расстояние от центра шара до плоскости основания.
Проведем ОК⊥SM. АС⊥SMB (ВM⊥АС, SM⊥AC), значит ОК⊥АС, ⇒
ОК⊥SAC, т.е. ОК = R - расстояние от центра шара до грани SAC. К - точка касания.

ΔОМН: НМ = ОH / tg∠OMH = R / tg30° = R√3
НМ - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
НМ = а√3/6
а√3/6 = R√3
a = 6R

ΔSHM: HM / SM = cos 60°
             SM = HM / cos60° = R√3 / (1/2)  = 2R√3

Sбок = 1/2 Pabc · SM = 1/2 · 3(6R) · 2R√3 = 18R²√3

Проведем КР⊥SH, Р - центр окружности, по которой поверхность шара касается боковой поверхности пирамиды. РК - ее радиус.
∠SKP = ∠SMH = 60° (соответственные при пересечении КР║МН секущей SM),
∠РКО = ∠SKO - ∠SKP = 90° - 60° = 30°
ΔPKO: cos ∠PKO = PK / KO
             cos 30° = r / R
             r = R√3/2

Длина окружности касания:
C = 2πr = 2π · R√3/2 = πR√3