Дано куб abcda1b1c1d1, координати чотирьох його вершин такі: a(0; 0; 0)4 b(1; 0; 0); d(0; -1; 0) і а1(0; 0; 1 знайдіть координати інших вершин куба, точки перетину його діагоналей і точки, симетричної останній відносно осі oz.

Рассмотрим одну из отмеченных точек. заметим, что на определённом расстоянии r от неё может быть не более двух точек, т.к. каждая такая точка лежит на двух окружностях: на исходной и на окружности с центром в выбранной точке и радиусом r, - а  две окружности пересекаются не более чем в двух точках. так как всего расстояний не более 50, то точек, не считая выбранной, не более 100, а всего не более 101. если точки стоят в вершинах правильного 101-угольника, то расстояний 50, а больше точек не может быть по доказанному. значит, наибольшее количество точек равно 101.

Площадь окружности: sо = пr², отсюда: r = √(so/п) = 4 (см). если в трапецию вписана окружность, то её диаметр — средняя линия трапеции (назовём её mn). тогда средняя линия — два радиуса окружности: mn = 2r. формула средней линии: mn = 2r = (bc + ad)/2, отсюда: bc + ad = 4r. bc + ad = 4*4 = 16 (см). проведём высоту трапеции из вершины в к основанию ad, точку пересечения высоты и ad назовём н. если в трапецию можно вписать окружность, то сумма её противолежащих сторон равна: ab + cd = bc + ad. не забываем, что наша трапеция равнобедренная (ab = cd). 2ab = bc + ad, 2ab = 16, ab = 8 (см). угол bad = 180° - 150° = 30°. рассмотрим треугольник abh — прямоугольный. против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы: ab = 2bh, отсюда: bh = ab/2 = 8/2 = 4 (см). площадь трапеции: s = (bc + ad)/2 * bh, s = 16/2 * 4 = 32 см². ответ: 32 см².