Вравнобедренной трапеции abcd acd =135о, ad = 20 см, вс = 10 см. найдите периметр трапеции.

  трапеция равнобедренная, следовательно угол D тоже равен 30 градусов.  Теперь рассмотрим треугольник ACD:  угол D=30  угол ACD=135  следовательно угол CAD=180-135-30=15 градусов, те АС разбила угол А на два угла по 15 градусов, следовательно она биссектриса.  Далее опустим высоту из точки В на сторону АД, обозначим ВК и рассмотрим треуг АВК:  АК=(20-10)/2=5  АК/АВ=cos30  AB=AK/cos30=5/(корень из3/2)=10/корень из 3, тогда периметр=  10+20+2*10/корень из 3 

Пусть нижнее (большее) основание равно a; верхнее равно b, а боковые стороны равны c. Поскольку в трапецию вписана окружность, суммы противоположных сторон равны, откуда с=(a+b)/2.

Кроме того,  S трапеции равна полусумме оснований на высоту, которая у нас равна двум радиусам ⇒ S=(a+b)R⇒a+b=S/R; c=S/(2R).

Совершив стандартную процедуру - опустив высоты из вершин верхнего основания на нижнее, разбиваем нижнее на три отрезка, средний из которых равен b, а крайние равны (a-b)/2. 

Один из таких отрезков вместе с боковой стороной и высотой образуют прямоугольный треугольник, из которого находим нижний катет (я там уже избавился от двойки в знаменателе):

a-b=2√(S^2/(4R^2)-4R^2)=√(S^2-16R^2)/R

Вспомнив a+b=S/R, получаем формулы для a и b:

a=(S+ √(S^2-16R^2))/(2R);
 
 b=(S- √(S^2-16R^2))/(2R)

1. АБС подобен МНК следовательно
МК/АБ=МН/АС=к
8/4=12/6=2
треугольники АБС и МНК подобны
угол С=180-80-60=40
по 2 свойству подобия (подобие сохраняет величины углов)
угол А=М=80
угол В=К=60
угол С=Н=40

2. т.к. МК II АС => треугольники АВС и МВК подобные.
ВМ:АМ=1:4
пусть ВМ=х, тогда АМ=4х, тогда АВ=х+4х=5х =>
МВ:АВ=1:5
коэффициент подобия=1:5=0,2

Мы знаем, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия =>

периметр треугольника МВК : периметру треугольника АВС = 1:5

периметр треугольника МВК=периметр треугольника АВС : 5

периметр треугольника МВК=25:5=5см.