5.2. некоторая прямая l перпендикулярна сторонам ab и ac треугольника abc. определите взаимное расположение прямой i и плоскости треугольнихabc: а) прямая l пересекает плоскость abc, но не перпендикулярна ей; б) прямая l принадлижит плоскости abc; в) прямая l перпендикулярнаплоскости abc; г) прямая l перпендикулярна плоскости abc.5.3. прямая ко перпендикулярна плоскости параллелограмма abcd. определите прямую, перпендикулярную прямой ко.5.4. прямая мв перпендикулярна сторонам ав и вс треугольника авс. найдите вид треугольника mbx, если точка x - произвольнаяточка стороны ас.​

5.2.   если прямая     перпендикулярна двум пересекающимся прямым (ав и ас) , лежащим в одной плоскости ( пл. треугольника авс) , то эта прямая     перпендикулярна самой плоскости ( пл. δавс).

в) прямая     перпендикулярна плоскости треугольника авс.

5.3.   так как ко⊥ авсд ( плоскости параллелограмма авсд) , то эта прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости авсд. значит, ко⊥ав , ко⊥вс , ко⊥ад , ко⊥сд , ко⊥ас , ко⊥вд

5.4.   мв⊥пл δавс   ⇒   мв перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости авс, в том числе мв⊥вх ( х∈ас⊂δавс ) ⇒

∠мвх=90°   и   δмвх - прямоугольный .

5.2. если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости.

l⊥(abc)

5.3. если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.

ko⊥ab, ko⊥bc, ko⊥cd, ko⊥ad

5.4.

mb⊥(abc) => mb⊥bx, mbx=90

1-ый признак  равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними (теорема 3.1.  –  признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними - если две стороны и угло между ними одного треугольнгрка равны соотвественно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны)

доказательство:

пусть у треугольников авс и а1в1с1  угол а равен углу а1, ав равно а1в1,  ас равно а1с1, докажем, что треугольники равны.

пусть а1в2с2  – треугольник, равный авс, с вершины в2  на луче а1в1  и вершины с2  в той же полуплоскости относительно прямой а1в1, где лежит вершина с1.

так как а1в1  равно а1в2, то вершина в2  совпадет с в1.  так как угол в1а1с1  равен углу в2а1с2,  то луч а1с2  совпадет с а1с1. так как а1с1  равен а1с2, то с2  совпадет с с1.  значит треугольник  а1в1с1  совпадает стреугольниом  а1в2с2, значит равен треугльнику авс.

теорема доказана.

2-ой  признак  равенства треугольников: по стороне и прилежим к ней углам (теорема 3.2. -  признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам - если сторона и прилежащие у ней углы одного треугольника равны соотвественно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны)

доказательство:

пусть  авс и а1в1с1 –  два треугольника, у которых ав равно а1в1,  угол а равен углу а1, и угол в равен углу в1. докажем, что они равны.

пусть а1в2с2  – треугольник, равный авс, с вершины в2  на луче а1в1  и вершины с2  в той же полуплоскости относительно прямой а1в1, где лежит вершина с1.

так как а1в2  равно а1в1, то вершина в2  совпадет с в1.  так как угол в1а1с2  равен углу в1а1с1,  и угол а1в1с2 равен углу а1в1с1, то луч а1с2  совпадет с а1с1, а в1с2  совпадет с в1с1. отсюда следует, что вершина с2  совпадет с с1.  значит треугольник  а1в1с1  совпадает стреугольниом  а1в2с2, значит равен треугльнику авс.

теорема доказана.

3-ий  признак  равенства треугольников: по трем сторонам ( теорема 3.6. -  признак равенства треугольников по трем сторонам - если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны)

доказательство:

пусть  авс и а1в1с1 –  два треугольника, у которых ав равно а1в1,  ас равно а1с1, и вс равно в1с1. докажем, что они равны.

допустим, треугольники не равны. тогда у них угол а не равен углу а1, угол в не равен углу в1,  и угол с не равен углу с1. иначе они были бы равны, по перовому признаку.

пусть а1в1с2  – треугольник, равный треугольнику авс, у которого свершина с2  лежит в одной полуплоскости с вершиной с1  относительно прямой а1в1.

пусть d – середина отрезка с1с2. треугольники а1с1с2  и в1с1с2  – равнобедренные с общим основанием с1с2. поэтому их медианы а1d и в1d – являются высотами, значит прямые а1d и в1d – перпендикулярны прямой с1с2.  прямые а1d и в1d не , так как точки а1,  в1, d не лежат на одной прямой, но через точку d прямой с1с2  можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. мы пришли к противоречию.

Так как ps=rs, то треугольник psr с основанием pr боковыми сторонами ps и rs является равнобедренным.  следовательно углы пр основании равны, то есть   углы ∠spr и ∠srp равны. ==>   ∠spr = ∠srp= 1,5*∠psr сумма углов в треугольнике равна 180°. тогда  ∠spr + ∠srp  +  ∠psr=180° подставляем в выражение известные нам значения: (1,5*∠psr)+(1,5*∠psr)+∠psr =180° : 4 *  ∠psr= 180° ∠psr = 45° находим углы при основании, то есть  ∠spr и ∠srp, зная что оба угла равны  1,5* ∠psr  ∠spr = ∠srp= 1,5 * 45°=67,5° делаем проверку, того что все углы в треугольнике в сумме  180° 67,5° + 67,5° + 45°=180° всё верно. ответ:   ∠spr = 67,5° ,  ∠srp=67,5° ,  ∠psr = 45°