Отрезок длинной 13см из вершины в прямоугольника авсd со сторонами ав=5 см, вс=10 см к его плоскости проведен перпендикуляр вм=5см.найти расстояние от точки м к прямым сd и са.

отрезок мс перпендикулярен cd, поскольку cd перпендикулярно всей плоскости мbc (это потому, что мв перпендикулярно всем прямым в плоскости авсd, а вс перпендикулярно cd) так что в прямоугольном треугольнике мвс мс - гипотенуза, а катеты 13 и 10.

мс = корень(269);

через прямую мв проводим плоскость, перпендикулярную ас, точку пересечения с ас обозначим к. мк и вк перпендикулярны ас (объяснение - в предыдущем предложении).

вк - высота к гипотенузе прямоугольного треугольника со сторонами 5 и 10.

длина гипотенузы ас^2 = (5^2 + 10^2) = 5*корень(5);

bk*ac = ab*bc = 50;   вк = 2*корень(5);

из прямоугольного треугольника мвк с катетами вк и мв находим мк

мк = корень(169 + 20) = корень(189) = 3*корень(21);

Теорема 1

если при пересечении двух прямых секущей: накрест лежащие углы равны, илисоответственные углы равны, илисумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны 

доказательство.(с накрест лежащими прямыми)пусть при пересечении прямых а и b секущей ав накрест лежащие углы равны. например, ∠ 4 = ∠ 6. докажем, что а || b.предположим, что прямые а и b не параллельны. тогда они пересекаются в некоторой точке м и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника авм. пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника авм, а ∠ 6 — внутренний. из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Центр описанной сферы находится на равном расстоянии от всех вершин пирамиды. местом точек, равноудалённых от вершин данного треугольника в пространстве, является перпендикуляр к плоскости этого треугольника, проходящий через центр его описанной окружности, который, поскольку треугольник правильный, является по совместительству точкой пересечения медиан, высот, срединных перпендикуляров и биссектрис треугольника, которые для правильного треугольника . расстояние от центра правильного треугольника до любой из его вершины равно двум третям его высоты, т.е. 3√3/2*2/3дм=√3дм. центр описанной сферы должен также находиться на одном и том же расстоянии от двух концов бокового ребра, перпендикулярного основанию. рассмотрим срединный перпендикуляр для этого ребра, пересекающий указанный выше перпендикуляр к плоскости. он будет находиться на расстоянии 2дм/2=1дм от плоскости основания, а точка его пересечения с указанным перпендикуляром к плоскости основания есть центр искомой сферы. следовательно, в прямоугольном треугольнике, образуемым вершиной основания при перпендикулярном ребре, центром основания и центром описанной сферы один катет равен √3дм, второй 1дм, а гипотенуза, равна √(3+1)=√4=2дм - искомый радиус описанной сферы.  ответ: 2дм.