Найдите сторону ас треугольника авс , если ав=5√2см , вс=4см, угол в=135°

Cos135°=Cos(180-45)=-Cos45°=-√2/2; По теореме косинусов: (AC)^2=(AB)^2+(BC)^2-2*AB*BC*CosB; (АС)^2=(5√2)^2+4^2-2*5√2*4*Cos135°; (AC)^2=50+16-40√2*(-√2/2); (AC)^2=66+20*√2*√2=66+20*2=106; AC=√106 см; ответ: √106

К сожалению не проходят вложения. Попробую на словах.

а) Из т.К проведем отрезок КР // АС. Тр. ВКР подобен тр. АВС

ВК = АВ/4 (по условию). Значит КР = АС/4 = 15/4, ВР = ВС/4 = 7/4, но ВL = 4,

LC = 3.  Тогда РL = 4 - 7/4 = 9/4.

Переходим к другой паре подобных тр-ов: KPL и LMC.

KP/CM = LP/LC   15/(4CM) = 9/(4*3)   Отсюда:  СМ = 5. Для нахождения последней стороны LM тр. LMC найдем cos LCM = - cosACB = 

= - (BC^2 + AC^2 - AB^2)/(2BC*AC) = - (225+49-260)/210 = 14/210 = - 1/15.

Теперь по теореме косинусов найдем LM:

LM =кор(LC^2 + CM^2 - 2*LC*CM*cosLCM) = кор(9 + 25 + 2*3*5*/15) = 6.

Итак в тр-ке LMC известны все стороны:

MC = 5, LC = 3, LM = 6.  Полупериметр: p = 7. Площадь по ф. Герона:

S = кор[7*(7-3)(7-5)(7-1)] = кор56. С другой стороны, S = pr, где r - радиус вписанной окр-ти .  r = (кор56)/7 = (2кор14)/7

ответ: r = (2кор14)/7.

 

б) Найдем координаты точки О - центра вписанной окр-ти, поместив начало системы координат в т.А и направив ось Х по AC.

т.О - точка пересечения биссектрис тр. LMC. Проведем ОN перпендик. СМ

ОN = r = (2кор14)/7.

Тр-к СОN: СN = ON/tg(LCM/2)     tg(LCM/2)= sinLCM /(1+cosLCM) = 

= (2кор14)/7.

Тогда CN = 1.

Итак точка О ( и весь вектор АО) имеет координаты (16; (2кор14)/7)

Длина вектора АО = кор[ 256 + 56/49] = (30кор14)/7

ответ: АО = (30кор14) / 7.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.