Начертите треугольник: 1) остроугольный. 2)прямоугольный. 3) тупоугольный . проведите из каждой вершины треугольника высотыих 3)

1) остроугольный. высоты пересекаются в одной точке, внутри треугольника.
2) прямоугольный. высота из прямого угла опускается на гипотенузу, из остальных вершин высоты совпадают со сторонами. высоты пересекаются в одной точке- в углу 90 °
3) тупоугольный. чтобы провести высоту тупоугольного треугольника, необходимо продолжить стороны треугольника. Высоты пересекаются в одной точке- за пределами треугольника. 

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
В нашем случае из одной точки А, лежащей на большей окружности проведена касательная АМ к меньшей окружности и секущая АВ, проходящая через общий центр О (окружности концентрические). Точка касания М делит хорду пополам значит АМ=10см. Тогда 10² = (R+r)*(R-r). Или 100=R^2-r^2. Но r = (2/3)*R. Подставляем и имеем 100=(5/9)*R^2.
Отсюда R = 6√5см, а r = 4√5см.

Или так: из прямоугольного треугольника ОМА по Пифагору имеем:
ОА^2-ОМ^2=АМ^2 или
R^2-r^2=100 или
(5/9)*R=100 
Отсюда R=6√5см. r=4√5 см.

1) Через две точки можно провести только одну прямую (аксиома). 

При расположении точек важно, чтобы ни одни три не располагались на одной прямой.   

Как вариант построения:

Наложите два треугольника один на другой так, чтобы они не имели общих вершин и их стороны пересекались.  Вершины треугольников можно попарно соединять в разных комбинациях (см. рисунок в приложении) 

2) Через любые две точки проходит одна и только одна прямая. (Аксиома).

Пересекающиеся прямые имеют только  одну общую точку. В противном случае , если бы они имели две общие точки, то через эти точки проходили бы две различные прямые, что противоречит аксиоме. 

Отсюда следуют варианты: 

а) все четыре прямые пересекают данную в одной точке.

б) прямые пересекают её в двух точках ( по две в каждой)

в) в трёх точках ( две из них пересекают прямую в одной точке)

г) в четырех точках -каждая прямая пересекает данную в отдельной точке.

При пересечении четырех прямых с данной может образоваться от одной до четырех точек пересечения.