Острый угол прямоугольного треугольника равен 32 градуса. найдите градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят окружность, описанную около него, и градус этой окружности если гипотенуза данного треугольника равна 12 см.

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: 12/2=6 см.
Дуга, на которую опирается угол в 32° равна 32·2=64°, другой острый угол опирается на дугу 180-64=116°.
Прямой угол опирается на дуго равную 180°.
ответ: 64°, 116°, 180°.

Треугольник АВС, АВ=ВС, ВД-высота=медиане=биссектрисе=20, АС/АВ=4/3=4х/3х, АС=4х, АВ=3х, АД=СД=1/2АС=4х/2=2х, треугольник АВД прямоугольный, АВ в квадрате-АД в квадрате=ВД в квадрате, 9*х в квадрате-4*х в квадрате=400, х в квадрате=80, х=4*корень5, АД=2*4*корень5=8*корень5, АС=2*АД=2*8*корень5=16*корень5, АВ=3*4*корень5=12*корень5

площадь АВС=1/2*АС*ВД=1/2*16*корень5*20=160*корень5, полупериметрАВС=(12*корень5+12*корень5+16*корень5)/2=20*корень5, 

радиус вписанной=площадь/полупериметр=160*корень5/20*корень5=8

Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения.
Найдем линию пересечения плоскостей АВС и ВЕD1, к которой надо провести перпендикулярную плоскость.
Для начала построим сечение BED1.
Точки Е и В лежат в грани АA1В1В, следовательно ЕВ - линия пересечения этой грани и секущей плоскости.
Точки Е и D1 лежат в грани АA1D1D, следовательно ЕD1 - линия пересечения этой грани и секущей плоскости.
Зная, что параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, проводим ВР параллельно ED1 и D1Р параллельно ЕВ. Параллелограмм ВЕD1P - искомое сечение.
Продлив прямую D1E до пересечения с продолжением ребра DA, получим точку F, принадлежащую и плоскости АВС (прямая AD принадлежит плоскости АВС) и секущей плоскости BED1 (D1E принадлежит плоскости BED1). Линия пересечения плоскостей BED1 и АВС проходит через точку В (дано). Поэтому, соединив точки F и В получим искомую линию пересечения.
Теперь проведем плоскость, перпендикулярную этой линии пересечения.
Для этого опустим перпендикуляр АН на FB. Плоскость AFH - искомая плоскость, так как прямая ЕА перпендикулярна плоскости АВС, а прямая ЕН перпендикулярна FB по теореме о трех перпендикулярах (АН - проекция наклонной ЕН).
Искомый угол между плоскостями - это <AHE (по определению).
Треугольник AFE подобен треугольнику DFD1 с коэффициентом подобия k=AE:DD1=1:3. тогда AF/FD=AF/(AF+AD)=AF/(AF+2)=1/3.
Отсюда AF=1. В прямоугольном треугольнике AFB (<A=90 - дано) по Пифагору FB=√(AF²+AB²)= √(1+4)=√5. АH=AF*AB/FB (свойство высоты из прямого угла). АH=1*2/√5 = 2/√5.
Тангенс искомого угла равен
tg(AHE)=AE/AH = 1/(2/√5) = √5/2 ≈1,12
ответ: α = arctg(1,12) ≈ 48,2°.