4) правильний шестикутник вписано в коло радіуса 8 см. найдіть найменшу діагональ шестикутника. 9 клас

Сторона а правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности: а = 8 см.
Угол между сторонами равен 120°.
Меньшая диагональ вместе с двумя сторонами образует равнобедренный треугольник. Углы при основании равны по (180-120)/2 = 30°.
Тогда меньшая диагональ равна 2*а*cos30° = 2*8*(√3/2) = 8√3 см.

Одним из эффективных методов решения геометрических задач является метод дополнительных построений. Дополнительные построения позволяют свести задачу к задачам, решения которых хорошо известны или легко могут быть получены. Требуется большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция, чтоб догадаться, какие дополнительные линии следует провести. Иногда условие задачи подсказывает выбор дополнительного построения.

Так практика показывает, что полезно в трапеции провести через одну вершину прямую, параллельную противоположной боковой стороне; если речь в задаче идет о диагоналях, то дополнительное построение состоит в проведении через одну из ее вершин прямой, параллельной диагонали.

Если в условии говорится о медиане треугольника, то стоит попытаться продолжить эту медиану на такое же расстояние.

Если в задаче фигурирует середина одной или нескольких сторон четырехугольника, то стоит добавить середины каких-то других сторон или диагоналей и рассмотреть средние линии соответствующих треугольников. Этот прием называют методом «средних линий».

Таким образом, выделены три разновидности дополнительных построений:

1)  продолжение отрезка на определенное расстояние или до пересечения с заданной прямой;

2)  проведение прямой через две заданные точки;

3)  проведение через заданную точку прямой, параллельной данной прямой.

Основные направления, которые можно выявить во всем многообразии подходов к изучению дополнительных построений: 
1) Обучение эвристическим приемам решения задач и организация исследовательской деятельности при осуществлении поиска дополнительных построений. 
2) Использование различных дополнительных построений, связанных с данной фигурой. 
3)Использование дополнительных построений определённого вида при решении конкретных геометрических задач. 
4) Использование дополнительных построений (плоскостных чертежей и сечений) при решении стереометрических задач.

ответ: 1) V14 2) 90°

Объяснение:

vec(a) {ax;ay}; vec(b) {bx;by}

vec(a)+vec(b) {ax+bx;ay+by}

модуль (длина) вектора = корню квадратному из суммы квадратов координат (т.Пифагора)

(ax)^2 + (ay)^2 = 9

(bx)^2 + (by)^2 = 25

(ax+bx)^2 + (ay+by)^2 = 4*13 = 52

(ax)^2 + (bx)^2 + 2*ax*bx + (ay)^2 +(by)^2 + 2*ay*by = 52

9 + 25 + 2(ax*bx+ay*by) = 52

2(ax*bx+ay*by) = 18

найти нужно

vec(a)-vec(b) {ax-bx;ay-by}

|vec(a)-vec(b)| = корень из (

(ax)^2 + (bx)^2 - 2*ax*bx + (ay)^2 +(by)^2 - 2*ay*by ) = V(9 + 25 - 18) = V14

косинус угла между векторами = скалярное произведение векторов / произведение их модулей

cos(x) = (ax*(ax-bx)+ay*(ay-by)) / (3V14)

cos(x) = (9-9) / (3V14)

эти векторы перпендикулярны

cos(x) = 0 ---> угол = 90°