Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин сторон треугольника, вершинами которого служат точки a (-4, 3), b (0; 7), c (8; -1)

 Расчет длин сторон:
АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √32 ≈  5.656854249,
BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √128 ≈11.3137085, 
AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √160 ≈12.64911064.
Отсюда видим, что треугольник прямоугольный - сумма квадратов двух сторон (32+128=160) равна квадрату третьей стороны (160).

Точка пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин сторон треугольника, - это центр описанной окружности.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. У нас это АС.
Находим координаты точки О как середины отрезка АС:
О((-4+8)/2=2; (3-1)/2=1) = (2; 1).

ответ: точка пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин сторон треугольника, имеет координаты (2; 1).

p.s.  В общем случае надо было находить уравнения срединных перпендикуляров (достаточно двух), затем найти точку их пересечения.

Даны координаты точек A(1;4), B(1;1) , C(4;7).

Уравнение прямой, включающей сторону ВС:

Вектор BC : (4-1=3; 7-1=6) = (3; 6).

(x - 1)/3 = (у - 1)/6, после сокращения знаменателей на 2, получаем:

(x - 1)/1 = (у - 1)/2  это каноническое уравнение стороны ВС.

Или 2х - 2 = у - 1    или 2х - у - 1 = 0    общее уравнение.

у = 2х - 1  с угловым коэффициентом. к(ВС) = 2.

Угловой коэффициент перпендикуляра АН к стороне ВС равен:

к(АН) = -1/к(ВС) = -1/2.

Уравнение АН: у = (-1/2)х + в. Для определения параметра в подставим координаты точки А:  4 = (-1/2)*1 + в,  отсюда в = 4 + (1/2) = 9/2.

Уравнение АН: у = (-1/2)х + (9/2).

Координаты точки Н находим как точки пересечения прямых АН и ВС.

(-1/2)х + (9/2) = 2х - 1,

(5/2)х = (11/2), отсюда находим х(Н) = 11/5 = 2,2.

у(Н) = 2*(11/5)-1 = 17/5 = 3,4.

ответ: Н(2,2; 3,4).

Вот такое нахальное решение. ну уж простите : )пусть катеты a и b, гипотенуза с. я строю квадрат со сторонами (a + b), и дальше обхожу все 4 стороны по часовой стрелке, откладывая   отрезок а от вершины.  (пояснение.построенный со стороной (a + b) с вершинами аbcd, а - "левая нижняя" вершина. от а вверх - вдоль ав, откладывается а, потом от в вправо - вдоль вс откладывается а, потом от с вниз, вдоль cd, откладывается а, и от d вдоль da откладывается а.)все эти точки соединяются.получился квадрат со стороной с, вписанный в квадрат со стороной (a+b).ясно, что центры этих квадратов . это автоматически доказывает то, что надо в .  (если не ясно, постройте там пару треугольников из диагоналей обоих квадратов и отрезков длины а и докажите их равенство.  на самом деле не надо ничего доказывать - эта фигура из двух квадратов переходит сама в себя при повороте вокруг центра большого квадрата на 90 градусов. поэтому центр "вписанного" квадрата совпадает с центром большого, то есть лежит на биссктрисе прямого угла большого квадрата. ну, и биссектрисе прямого угла исходного треугольника, само собой - это одно и то же. этих треугольников там даже четыре, а не один : ), можно любой выбрать за исходный.)