Найдите большую боковую сторону трапеции, если ее основания равны 4 и 7 см, один из углов равен 60º.

Воспользуемся теоремой о диагонали прямоугольного параллелепипеда: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

На чертеже: а - длина, в - ширина, с - высота, d - диагональ.

d2 = а2 + в2 + с2.

422 + 122 + с2 = 522.

2 304 + 144 + с2 = 2 704.

2 448 + с2 = 2 704.

с2 = 2 704 - 2 448.

с2 = 256.

с = √256.

с1 = 16; с2 = -16 (второй корень не подходит, т.к. с - это высота параллелепипеда, значение которой не может быть выражено отрицательным числом).

Находим площадь поверхности параллелепипеда. У него 6 граней, каждая грань - это прямоугольник. Нужно найти площади каждой грани и сложить их. Формулой это можно записать так:

S поверх. = 2ас + 2ав + 2вс = 2 х (ас + ав + вс).

S поверх. = 2 х (48 х 16 + 48 х 12 + 12 х 16) = 2 х (768 + 576 + 192) = 2 х 1 536 = 3 072.

Находим объем параллелепипеда по формуле: V = а х в х с.

V = 48 х 12 х 16 = 9 216.

ответ: площадь поверхности параллелепипеда равна 3 072, его объем равен 9 216.

1. По свойству CH = JD, а HJ = AB. CH = (CD - HJ) / 2 = (20 - 8) / 2 = 12 / 2 = 6 см. Рассмотрим треугольник ACH. Угол ACH = 45 градусов (по условию), угол AHC = 90 градусов, т.к. AH — высота. Найдем угол HAC: 180 градусов - 90 градусов - 45 градусов = 45 градусов ⇒ треугольник ACH равнобедренный ⇒ AH = CH = 6 см. Высота = 6 см. 
2. Площадь равна произведению полусуммы оснований на высоту = (8 + 20) / 2 * 6 = 28 / 2 * 6 = 14 * 6 = 84 квадратных см. Площадь = 84 квадратных см. 
P. S. Чертеж прилагаю ниже. Простите за неаккуратность.